Аналитическая геометрия на плоскости

Решение: 1. Найдем уравнение стороны АС: , поэтому вектор нормали , и уравнение прямой АВ имеет вид , откуда , или окончательно, .

2. 
   Найдем координаты точки М – середины отрезка АС:
   

, откуда .

3. 
   Найдем координаты точки А как точки, удаленной в два раза дальше от точки С, чем точки М: , откуда
   

и
Итак, А(8:-7).

4. 
   Найдем координаты точки откуда и
   
5. 
   Найдем уравнение прямой , откуда .
   
6. 
   Найдем уравнение прямой , откуда .
   

Пример 6. В прямоугольном треугольнике известны уравнения гипотенузы и катета . Найти уравнение второго катета, если известны координаты середины гипотенузы (2;3). Сделать чертеж.
Решение. Найдем координаты точки В пересечения катета ВС и гипотенузы АВ, для чего решим следующую систему уравнений:
.
Зная координаты точки В и середины гипотенузы D, найдем координаты другого конца гипотенузы (точки А) с помощью формул середины отрезка:

Отсюда, , следовательно, А (-1;2).
Катат АС проходит через точку А(-1;2) и перпендикулярен катету ВС. Из уравнения катета ВС имеем координаты нормального вектора прямой , который является направляющим вектором прямой АС. Следовательно, можно записать каноническое уравнение катета АС:
.
Отсюда - уравнение катета АС.

Задачи для самостоятельной работы

1. 
   Даны две вершины треугольника и ; его высоты пересекаются в точке N(5;2). Определить координаты третьей вершины .
   
2. 
   В треугольнике АВС даны:
   

а) уравнение стороны ;
б) уравнения высоты .
и высоты .
Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

3. 
   Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны из его вершин А (1;3) и уравнения двух медиан: и .
   
4. 
   Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В (-4;-5) и уравнения двух высот: и .
   
5. 
   Составить уравнения сторон треугольника, знач одну его вершину В (2;6), а также уравнения высоты и биссектрисы ; проведенных из одной вершины.
   
6. 
   Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (2;-1), а также уравнения высты и биссектрисы , проведенных из различных вершин.
   

Ответы:

1. 
   .
   
2. 
   
   
3. 
   .