Аналитическая геометрия на плоскости

Решение:

1. 
   Проверить, не лежат ли точки на одной прямой, составить уравнение прямой АВ.
   

Составим уравнение стороны АВ :


Подставим в полученное уравнение координаты точки С: , значит, точка С не лежит на одной прямой с точками А и В.
2.Уравнение высоты СК треугольника АВС.
По условию, СК перпендикулярна стороне АВ, значит, направляющий вектор прямой СК перпендикулярен направляющему вектору прямой АВ: .
Из условия получаем
.
Положим, х=1, тогда у=2 и .

Тогда уравнение высоты СК:

Искомое уравнение .
3.Уравнение медианы AD трепугольника АВС.
По условию D – середина ВС, значит:
.
Уравнение медианы AD имеет вид
.
Искомое уравнение .
4.Координаты точки пересечения высоты СК и медианы AD. Решим систему уравнений

Высота пересечения с меадиной в начале координат.
5.Угол между медианой AD и высотой АС найдем средства векторной алгебры, т.е. через скалярное произведение. Если в задаче указано, что надо найти тангенсы углов, то решение ищем через угловые коэффициенты: .

6.Площадь треугольника АВС найдем, не используя методы векторной алгебры. Для этого определим координаты точки К:

Откуда К(2,4; 4,8).
Тогда


и
.
Пример 4. В треугольнике с вершинами А (9;3), В (-3;-3) и С (-7;0) найти (используя уравнение прямой с угловым коэффициентом) величину каждого внутреннего угла треугольника и длины всех его сторон.
Решение.
1.

2. 
   Запишем уравнение стороны АВ:
   

3. 
   Запишем уравнение стороны ВС:
   

.

4. 
   Найдем :
   

Знак “минус” показқвает, что тупой, в чем убеждаемся из чертежа:

5. 
   Найдем :
   

.

6. 
   Найдем :
   

7. 
   Для контроля найдем сумму углов треугольника:
   

Пример 5. Составить уравнения сторон треугольника. Зная одну его вершину С(-4;-1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из другой вершины.