An eulerian-eulerian approach for oil&gas separator design conference Paper

Momentum exchange closure 
The term 
𝑴
𝑰,𝒌𝒋
 
accounts for the momentum exchange contribution among phases across the 
interface. In the contest of the Eulerian-Eulerian model, the closure relation is generally reported as 
the sum of drag force, virtual mass force and lift force. Since the dispersed phase is modelled as a 
solid sphere of small diameter and without possibilities of distortion, the contribution of the lift force 
is negligible compared to the other momentum exchange source and, therefore, omitted. The final 
closure expression is, therefore: 
𝑴
𝑰,𝒌𝒋
=
3
4
(𝛼
𝑘
𝑓
𝑘
𝐶𝑑𝑅𝑒
𝑘𝑗
𝜌
𝑗
𝜈
𝑗
𝑑
𝑘
2
+ 𝛼
𝑗
𝑓
𝑗
𝐶𝑑𝑅𝑒
𝑗𝑘
𝜌
𝑘
𝜈
𝑘
𝑑
𝑗
2
) 𝒗
̅
𝑟
 
 
+ (𝛼
𝑘
𝑓
𝑘
𝐶
𝑣𝑚,𝑘
𝜌
𝑘
+ 𝛼
𝑗
𝑓
𝑗
𝐶
𝑣𝑚,𝑗
𝜌
𝑗
) (
𝐷𝒗
̅
𝑘
𝐷𝑡
−
𝐷𝒗
̅
𝑗
𝐷𝑡
)
 
The factor 
𝑓
𝑘
and 
𝑓
𝑗
represents the blending parameters used to provide a closure over the full range 
of phase fractions. The factor 
𝑓
𝑘
and 
𝑓
𝑗 
goes to 1 as 
𝛼
𝑘
and
𝛼
𝑗
approach 1, respectively. The variation 
trend of the two factors for intermediate value of phase fraction must be modelled. In the present 
work, this variation follows a linear trend. Therefore, in case of phase inversion phenomena, the 

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algorithm automatically takes into account the phase changes from continuous to dispersed. Clearly, 
with this method it is not necessary to specify which phase is continuous and which phase is 
dispersed, since it treats all the phases in the same way without considering a predominant one.
The calculation of the term drag coefficient 
𝐶𝑑𝑅𝑒
𝑘𝑗
and 
𝐶𝑑𝑅𝑒
𝑗𝑘
relies on the Schiller-Naumann 
formulation, whose original formulation is (blue curve in figure 2): 
𝐶𝑑𝑅𝑒 = 𝑚𝑎𝑥[24(1 + 0.15𝑅𝑒
𝑝
0.687
); 0.44𝑅𝑒
𝑝
]
Where 
𝑅𝑒
𝑝
represents the particle Reynold’s number. In the present work, we found that this 
formulation was not suitable for liquid-liquid separation where the density of the two phases can be 
very close. The main reason for this behaviour the fact that the term 
𝐶𝑑𝑅𝑒
goes to 24 as the particle 
Reynold’s number goes to zero. Mathematically, the separation process would end when the relative 
velocity between two phases goes to zero; nevertheless, the relative velocity is never strictly zero in 
the computational domain, providing a continuous obstacle to the separation. For this reason, a 
modification to the formulation for the drag coefficient was proposed so that as the particle Reynold 
number goes to zero also the term 
𝐶𝑑𝑅𝑒
goes to zero. In order to do so, two alternatives have been 
considered: a jump formulation (red curve in figure 2) that zeros the term 
𝐶𝑑𝑅𝑒
below a cut-off value 
of 
𝑅𝑒
𝑝
(𝑐𝑅𝑒
𝑝
)
and a polynomial function (green curve in figure 2) to provide a smooth variation of 
𝐶𝑑𝑅𝑒
between 0 and 
𝑐𝑅𝑒
𝑝
. In order to guarantee the continuity of the formulation, the latter approach 
was chosen with a 
𝑐𝑅𝑒
𝑝
e
qual to 1. Clearly, a full and rigorous explanation of this choice would 
require an experimental campaign to find a momentum consistent formulation of the drag coefficient. 
In absence of experimental data, this preliminary solution is proposed to test the numerical stability 
and convergence of the solver in presence of a three-phase flow.