“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

2 §. To’g’ri burchakli membrananing tebranishi

G soha to’gri to’rtburchakdan iborat bo’lsin. Bunday membrananing kichik tebranishlari (1) tenglamaning (2) boshlang’ich shartlarini va
(11)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iboratdir. Bu masalaning yechimini (4) ko’rinishida izlab, uchun (5) tenglamaga, uchun (6) tenglamaga va
(12)
chegaraviy shartlarga ega bo’lamiz, (5) va (6) da o’rniga qo’yish kerak.
(6), (12) masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalarini topamiz. (6) tenglamada
(13)
deb, o’zgaruvchilarni ajratamiz:
.
Bundan ikkita oddiy diffrensial tenglamaga ega bo’lamiz:
(14)
bu yerda
. (15)
(12) chegaraviy shartga asosan (14) ning birinchi tenglamasini
(16)
shartlarda, ikkinchisini esa
(17)
shartlarda yechish kerak.
(14) tenglamalarning umumiy yechimi,ma’lumki,

ko’rinishga ega bo’ladi.
(16) va (17) chegaraviy shartlarga ko’ra bo’ladi, agar deb hisoblasak,
(18)
tengliklarga ega bo’lamiz, shu bilan birga
(19)
bo’lishi kerak.
(19) tenglamadan va cheksiz ko’p

qiymatlarga ega bo’lishi kelib chiqadi.
U holda, (15) tenglikdan ning mos qiymatlarini xosil qilamiz:
(20)
Shunday qilib, (20) xos qiymatlarga (13) va (18) ga asosan (6), (12) chegarviy masalaning
(21)
xos funksiyalar mos keladi.
Agar (21) formula bilan aniqlangan xos funksiyalarni songa ko’paytirsak, bu funksiyalar ortonormalangan funksiyalarning sistemasini hosil qiladi, ya’ni

.
Bu yerda bir narsaga etiborini jalb qilamizki, (6), (12) masalaning topilgan xos qiymatlari orasida karrali xos qiymatlar bo’lishi mumkin, ya’ni shunday xos qiymatlarki, bularga bitta emas, bir nechta chiziqli bog’liq bo’lmagan xos funksiyalar mos keladi.
Bu shunday hollarda bo’ladiki, to’g’ri to’rtburchakning p va q tomonlari o’lchovdosh bo’lib, -ratsional son , va lar shundayki, bular uchun bo’ladi.
Masalan, bo’lganda xos qiymat ikki karrali bo’ladi, chunki bu songa ikkita chiziqli bog’liq bo’lmagan

xos funksiyalar mos keladi.
Endi (5) tenglamaga murojat qilsak, ko’ramizki, har bir xos qiymat uchun uning umumiy yechimi
(22)
ko’rinishga ega bo’ladi, bunda va - ixtiyoriy o’zgarmaslar.
Shunday qilib, (1) tenglamaning (11) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlari (4), (21) va (22) ga asosan quyidagicha bo’ladi:
.
Asosiy (1), (2) va (11) masalaning yechimini ushbu
(23)
qator ko’rinishida izlaymiz.
Agar bu qator va uni va bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash natijasida xosil bo’lgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, uning yig’indisi (1) tenglamani va (11) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. (2) boshlang’ich shartlarning bajarilishi uchun
(24)
tengliklarning bajarilishi zarurdir.
(24) formulalar va funksiyalarining sinuslar bo’yicha ikkilangan Fure qatoriga yoyilmasidan iboratdir. Yoyilmalarning koeffisientlari ushbu
(25)
formulalar bilan aniqlanadi.
(25) ni (23) qatorga qo’yib, masalamizning yechimiga ega bo’lamiz.
Agar boshlang’ich va funksiyalar , to’g’ri to’rtburchakka toqlik qonuni bilan,barcha tekislikka bo’yicha davr bilan , bo’yicha esa davr bilan davom etirgandan so’ng to’rt marta uzluksiz diffrensiallangandan so’ng tekis yaqinlashuvchi bo’ladi