“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Membrana tebranishlari masalasini o’rganish, membrana tebranishi haqida tushunchaga ega bo’lish. Qo’yilgan masalalarni Fur’e usulida yechish.
Kurs ishining nazariy va amaliy ahamiyati: Membrana tebranishlari masalasini o’rganish bizga fizikada mexanik tebranish o’rganishda kerak bo’ladi.
Kurs ishi tuzilmasining tavsifi: Ushbu kurs ishi jami 18 bet bo’lib, mundarija, kirish, bitta bob, 39 ta formula, misollar, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.

ASOSIY QISM

MEBRANA TEBRANISHLARINING MASALASI

1 §. Membrana tebranishlari masalasining umumiy holi

Chetlari mustahkamlangan elastik membrana muvozanat holida tekislikda Г egri chiziq bilan chegaralangan biror G soha bilan ustma-ust tushsin. U holda bu membrana tebranishlari
(1)
to’lqin tenglamasining

(2),
boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin va
(3)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi bilan tasvirlanadi.
Bu masalaning yechimini ham, tor tebranishiga o’xshash Fur’e usuli bilan izlaymiz:
(4)
Bu ifoda (1) tenglamaning yechimi bo’lishi uchun T(t) va v(x,y) funksiyalar mos rasvishda
(5)
(6)
tenglamalarni qanoatlantirishi kerak, bu yerda

(6) tenglama Gelmgolst tenglamasi deyiladi.
funksiyaning qiymatini (4) dan (5) chegaraviy shartga qo’yib,

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik esa o’z navbatida funksiya uchun
(7)
chegaraviy shartga teng kuchlidir.
(6) Gelmgolst tenglamasi uchun bir jinsli (7) Dirixle masalasi trivial bo’lmagan yechimga ega bo’lgan ning qiymati xos qiymat (son), bu songa mos bo’lgan funksiya xos funksiya deyiladi.
Faraz qilaylik, G sohaning Г chegarasi bo’lak-bo’lak silliq Jordan egri chizig’i bo’lib, funksiya (6), (7) masalaning xos songa mos xos funksiyasi bo’lsin.
Ushbu

ayniyatni G soha bo’yicha integrallab va Gauss – Ostrogradskiy formulasini qo’llab, (6) tenglama va (7) chegaraviy shartga asosan

tenglikni hosil qilamiz. Bundan xos son >0 ekanligi kelib chiqadi.
Shuning uchun ham -haqiqiy son,belgilashni kiritishimiz mumkin. Bunga asosan (5) tenglamaning umumiy yechimi, ma’lumki,
(8)
ko’rinishga ega bo’ladi, - ixtiyoriy haqiqiy o’zgarmaslar.
(8) dan, o’z navbatida ning davrli davriy funksiya ekanligi kelib chiqadi.
G sohaga qo’yilgan yetarli umumiy shartlarda (6), (7) masala xos sonlarning sanoqli to’plami va bularga mos xos funksiyalari mavjud bo’ladi
Biz bu fikrni keyingi bandlarga G soha to’g’ri to’rtburchak va doira bo’lgan xolda isbot qilamiz.
xos songa mos (6) tenglamaning (8) yechim , bunda va -ixtiyoriy haqiqiy o’zgarmaslar,ko’rinishida olib, (1) tenglama yechimlarining to’plamini

ko’rinishda yozib olishimiz mumkin.
Agar xos sonlarga mos funksiyalar bo’lsa, u holda
. (9)
Buni isbotlash uchun ushbu

ayniyatdan foydalanamiz.Gauss –Ostogradskiy formulasini qo’llab,

tengliklarni etiborga olsak,

Tenglikka ega bo’lamiz. Bundan bo’lgani uchun (9) kelib chiqadi. (1), (2), (3) masalaning yechimini
(10)
qatorning yig’indisi ko’rinishida izlaymiz.
funksiya (2) boshlang’ich shartlarni qanoatlantirishi uchun va koeffitsientlar

shartlarni qanoatlantirishi zarur. Bu ikki tenglikni ga ko’paytirib, (9) tenglikni etiborga olsak, quyidagi formulalar kelib chiqadi:

bu yerda

va funksiyaning normasi deyiladi.