Amaliy matematika va informatika’’ yo’nalishi mavzu: Oddiy differensiyal tenglama uchun qo’yilgan chegaraviy masalani Galyorkin usuli bilan taqribiy yechish kurs ishi bajardi

II.BOB. AMALIY QISIM

2.1. Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni taqribiy yechish.

Masalaning qo‘yilishi Faraz qilaylik, quyidagi n-tartibli oddiy differensial
tenglarna ( 1) berilgan bo‘lsin. Uning y = y(jc) yechimini \a,b\ oraliqda topish
talab qilinsin. Bu oraliqda k ta xt (i = 1,2,...,k) nuqtalar olamiz: a < x{ < x 2 <
Xj < < x < b . Yechim y(x) va uning (n - 1) -tartibgacha hosilalarini xt (i
= \,2,...,k) nuqtalardagi qiymatlaridan qandaydir qoidaga binoan tuzilgan
quyidagicha tenglamalar berilgan bo‘lsin: 7 = 1,2,...,«, va quyidagicha masalani
qo'yamiz: | a,b\ oraliqda (1) tenglamaning (2) shartlami qanoatlantiradigan
yechimi topilsin. Bu k nuqtali masala deyiladi. Agar k = 1, xt = a bo‘lganda,
Koshi masalasi kelib chiqadi. Agar k = 2, x{ = a, x2 = b bo‘lsa, bunday masala
chegaraviy masala deyiladi. Va nihoyat qaralyatgan k ta nuqtalardan m tasi (2
<.m 2) masala deyiladi. www.ziyouz.com 181 kutubxonasiDifferensial
tenglama hamda chegaraviy shartlaming kamida bittasi nochiziqli bo‘lsa, (1), (2)
masala nochiziqli chegaraviy (k = 2) yoki ko‘p nuqtali nochiziqli (k >2) masala
deyiladi. Chiziqli chegaraviy yoki ko‘p nuqtah masalada differensial tenglama
va chegaraviy shartlar biijinsli bo‘lsa, u holda (1), (2) birjinsli chegaraviy yoki
ko‘p nuqtali masala deyiladi. (1) yoki (2) ning birontasi birjinsli bo‘lmasa, (1),
(2) masala birjinsli bo‘lmagan masala deyiladi. Bir jinsli masala trivial (y(x)*0)
yechimga ega. Lekin uning trivial bo‘lmagan yechimlarini topish ham ko‘p
hollarda katta ahamiyatga ega. Buning uchun (l)ga yoki (2)ga biron parametr
kiritib, shu parametrga bog‘liq bo‘lgan notrivial yechim topiladi. Parametrning
bu qiymatlari masalaning xos sonlaridir. Ularga mos keladigan yechimlar
masalaning xos funksiyalari deyiladi.

2.2. Galyorkin metodining g’oyasi.

Galyorkin metodining g’oyasi. Ritts metodining asosiy kamchiligi shundaki, u faqat operatori simmetrik va musbat bo’lgan tenglamalarga qo’llaniladi. Akademik B.G. Galyorkin 1915-yilda shunday metod taklif qildiki, u Ritts metodiga nisbatan umumiydir. Bu metod hech qanday variatsion masala bilan bog’liq emas, shuning uchun ham u batamom universal metod hisoblanadi.
Bu metodni elliptik, parabolik va giperbolik tenglamalarga, xatto ular variatsion masala bilan bog’liq bo’lmasa ham, katta muvaffaqiyat bilan qullash mumkin. Agar tenglamaning operatori simmetrik va musbat bo’lsa, Galyorkin metodi osonroq yo’l bilan Ritts metodi beradigan taqribiy yechimni beradi. Taqribiy yechimning koeffitsientlarini aniqlaydigan chiziqni algebraik tenglamalar sistemasi
bir xil bo’ladi. Galyorkin metodining yaqinlashishini akademik M. V. Keldish ko’rsatgan.
Endi Galyorkin metodining asosiy g’oyasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik,