Amaliy matematika va informatika’’ yo’nalishi mavzu: Oddiy differensiyal tenglama uchun qo’yilgan chegaraviy masalani Galyorkin usuli bilan taqribiy yechish kurs ishi bajardi

Au=f(x,y) (1.1)
tenglama berilgan bo’lib, A — qandaydir ikki o’zgaruvchili differentsial operator bo’lsin va (1.1) tenglamaning yechimi bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bu masalaning yechimini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:
( 1.2)
bu yerda funksiyalar berilgan G soxada turli bo’lgan chiziqli erkli sistemaning avvalgi tasi bo’lib, bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Taqribiy yechim ip(x, u) aniq yechimga aylanishi uchun ifoda aynan nolga aylanishi kerak. Agar uzluksiz bo’lsa, bu talab funksiya sistemaning barcha funktsiyalariga ortogonal bo’lishi bilan teng kuchlidir. Ammo bizda faqat ta o’zgarmaslar bo’lganligi sababli ortogonallik shartining faqat tasini qanoatlantira olamiz. Bu shartlar quyidagi tenglamalar sistemasiga olib keladi:

Yoki
(1.3)
.
Ushbu sistema koeffisientlarni topishga xizmat qiladi. Agar A operator chiziqli bo’lsa, u xolda bu sistema larga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo’ladi. Bu sistemadan larni topib (1.2) ga qo’ysak, kerakli taqribiy yechimni xosil kdlamiz.
Misol . Ushbu
u^”+u=-x, u(0)=0, u(1)=0 (1.4)
chegaraviy masalaning yechimi topilsin.
(Osonlik bilan ko’rish mumkinki, aniq yechim ).
Yechish. (1.4) chegaraviy masalaga Ritts metodini qo’llab bo’lmaydi, chunki bunda oldingi koffisentsent . Bu misol (1.2) taqribiy yechimni
( 1.5)
ko’rinishda qidirsak, u holda chegaraviy shartlarni qanoatlantradi.
Biz bu yerda, avvalo deb olamiz, u xola bo’lib

bo’ladi. ni (1.3) ga qo’yamiz , natijada




Tenglamalar sistemasini xosil qilamiz . Integralab xisoblaysak,

kelib chiqadi bunda va

ga ega bo’lamiz.
Endi bo’lsin, u xolda

deb olamiz. Bu yerda ni ko’rinishda yozib olsak, u xolda (1.3) sistema quydagicha yoziladi:



Biz bu yerda bolgan holda hisoblangan
lardan foydalanishimiz mumkin. U holda ni aniqlash uchun quydagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

Bu sistemaning yechimi

Shunday qilib,