Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 18. 06-guruh talabasi Qodirova Sevinchning Hisoblash usullari fanidan

Yechish. operatorga 1-teoremani qo‘llaymiz. 1-misoldan ma’lumki, bo‘lsa . Demak, barcha larda (20’) tenglama ixtiyoriy da yagona yechimga ega. Agar bo‘lsa, u holda (20’) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun funksiya funksiyaga ortogonal bo‘lishi zarur va yetarlidir.

2-§. Birinchi turdagi Fredgolm integral tenglamalari

Ushbu ishda birinchi turdagi Fredgolm integral tenglamalari ko'rib chiqiladi. Mavjud texnika bilan birlashtirilgan tartiblash usuli Fredgolm muammolarini hal qilish uchun qo'llaniladi. Muntazamlashtirish usulining ishonchliligini ta'kidlash uchun misollardan foydalaniladi.
(21)
va doimiylar,   parametr,  ma'lumotlar funktsiyasi,  integral tenglamaning yadrosi va  aniqlanadigan noma'lum funksiya. (21) tenglama noma'lum funktsiya paydo bo'lishi bilan tavsiflangan ikkinchi turdagi Fredgolm integral tenglamalari deyiladi.  integral belgisi ichida va tashqarisida. Bundan tashqari, birinchi turdagi Fredgolm integral tenglamalari quyidagi shaklga ega:
(22)
bu yerda Ω yopiq va chegaralangan mintaqadir. Birinchi turdagi Fredgolm integral tenglamalari (22) noma'lum funktsiya paydo bo'lishi bilan tavsiflanadi. Faqat integral belgisi ichida u(x)ning mavjudligi ichida ajralmas belgi maxsus qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Fredgolmning birinchi turdagi integral tenglamalari ko'pincha noto'g'ri yechimlar topishi mumkin, ular yechimi bo'lmasligi mumkin yoki yechim mavjud bo'lsa, u noyob emas va doimiy ravishda ma'lumotlarga bog'liq bo'lmasligi mumkin. f(x)- birinchi turdagi Fredgolm integral tenglamalari (22) rentgenografiya, spektroskopiya, kosmik nurlanish, tasvirni qayta ishlash va signallarni qayta ishlash nazariyasi kabi ko'plab fizik modellarda uchraydi. Boshqa tomondan, Volterraning birinchi turdagi integral tenglamalari shaklga ega:
(23)

4-§. Fredgolm integral tenglamasini ketma-ket yaqinlashish usulida yechish.

Bizga
(24)
tenglama berilgan bo‘lib, k(t,s) yadro Q={at, sb} to‘rtburchak sohada aniqlangan bo‘lsin va k(t,s)C[a,b], f(t)C[a,b].
(65) tenglamani ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechamiz. Buning uchun ushbu qatorni qaraymiz
(25)
bunda
(26)
ko‘rinishdagi operator bo‘lib,

bo‘lsa, u holda deb faraz qilamiz.
(65) qator elementlarini ko‘ramiz:

tenglik o‘rinli.
Agar

deb belgilasak va almashtirsak, u holda

ko‘rinishiga keladi.
Xuddi shunday tarzda

ko‘rinishlarga ega bo‘lamiz. k_n­(t,s) – funksiyaga kaytarilgan yadro yoki p –iteratsiya deyiladi. Yuqoridagilardan foydalanib (25) qatorni quyidagicha yozib olamiz:
(27)
(65) qator (*) tengsizlik o‘rinli bo‘lganda tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi, ya’ni

xuddi shunday

bo‘lib, (*) dan ekanligini nazarda tutib funksional qator sonli qator bilan taqqoslanadi, ya’ni funksional qatorni xar bir hadi sonli qatorni mos hadidan katta emas, hosil qilingan Mq^n-1 ko‘rinishdagi qator q<1 bo‘lib, yaqinlashuvchi ekanligidan funksional qatorni yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Endi
(28)
ko‘rinishda belgilash kiritib, uni ikki tomonidan integral olamiz:
(29)
so‘nggi (70) qatorni (65) qator bilan solishtirib,
(30)
ko‘rinishidagi tenglikni olamiz. bu (65) tenglamaning echimini ifodalaydi.
Bunda funksiyaga rezolpventa deyiladi va u ushbu ko‘rinishda ifodalanadi:

Yuqoridagi amalga oshirilgan ishlarni jamlab quyidagi teoremaga kelamiz. (7) ko‘rinishdagi uzluksiz yadroli ixtiyoriy Fredgolm tenglamasi, bo‘lganda va fC[a,b] funksiya uchun yagona yechimga ega va yechimi ko‘rinishida rezolpventa orqali ifodalanadi.