«amaliy matematika va informatika» kafedrasi «Hisoblash usullari» fanidan kurs ishi

k koeffisiyentni kiritamiz, masalan,
k:=0.15.
Fazoviy va vaqt koordinatalarining o’zgarish diapazonini beramiz:
t:=0..29 x:=1..49
Boshlang’ich va chegaraviy shartlarni beramiz:

Chekli ayirmali tenglama quyidagicha yoziladi:

Natijalarni grafik shaklida ifodalaymiz (natijalarning ko’rinish juda chiroyli ifodalanishi uchun faqat markaziy qismidan foydalanamiz):
x:=15..35
Bu hisoblashlardan ko’rinadiki, oshkor sxema juda ham sodda, ammo u vaqtning maydaroq qadamlarida hisoblash xatoligini keltirib chiqaradi va hisoblashlarni tadqiqot jarayoning oxirigacha olib borishga imkon bermaydi.

2-rasm.Har xil vaqt momentlarida diffuziya jarayonining tarqalishi holati.
Bunday kamchilikdan qutilish uchun oshkormas sxemadan foydalanish maqsadga muvofiq.Bunday oshkormas sxema deb atalishining sababi tadqiqot funksiyasining izlanayotgan qiymatalrini tenglamada vaqtning keyingi qatlamida topishda vaqtning oldingi qatlaidagi qiyamtlari orqali oshkor ifodalab bo’lmasligida.

6-§. Parabolik tipdagi tenglamani oshkormas sxemali chekli ayirmalar usuli bilan yechish

Quyidagi issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini yechaylik:

Endi oshkormas sxemadan (4-rasm) foydalangan holda ushbu tenglamaning chekli ayirmali approksimatsiyasini quyidagicha yozamiz:


3-rasm.To’rtnuqtali oshkormas sxema shabloni.
Bunda birinchi indeks gazoviy koordinataga, ikkinchisi esa vaqt koordinatasiga mos keladi.Oshkor sxemadan farqli ravishda bu chekli ayirmali tenglamaning o’ng tarafida funksiyaning qiymatlari keying vaqt qadamiga tegishli.
Ushbu

belgilashni kiritib,chekli ayirmali tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

yoki matritsa ko’rinishida quyidagicha


Endi Mathcad matematik paketida bu hisoblashlarni bajarib, berilgan
chegaraviy masalani yechamiz:
To’rning tugunlari sonini kiritamiz (bu misolimizda har ikkala o’zgaruvchi yo’nalishida bir xil qilib tanlaymiz):
n:=30
Siklik parametrlar:
i:=0..n j:=0..n k:=0..n-1 m:=1..n-1
Boshlang’ich parametrlarni kiritamiz
α:=0 β:=1 μ:=5
Chekli ayirmali tenglamaning matritsalarini tuzib olamiz:



Yechimni quyidagicha topamiz:

Dastlab yechim funksiyasining to’r grafigi va izoliniyalarini chizamiz (4-rasm).

4-rasm.
Endi shu rasmni rangli holatda chizamiz (5-rasm):

5-rasm.
Xususan, yechimi oldindan ma’lum bo’lgan chegaraviy masalani qaraylik:



Bu chegaraviy masalaning analitik yechimi
Tenglamardagi differensial operatorlarni ularning chekli-ayirmali analoglari bilan almashturamiz.Oshkormas sxemadan foydalanamiz.

Xususiy hosilalarni mos chekli ayirmalar bilan almashtirish natijasida quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Xususiy hosilalarni approksimatsiyalashning tanlangan sxemasini grafik ko’rinishda 3-rasmdagidek tasvirlash mumkin: 3-rasm foydalanilayotgan to’rtnuqtali oshkormas ayirmali sxemada yangi vaqt qatlamida uchta nuqta va eski vaqt qatlamida esa bitta nuqta olinayotganini yaqqol ko’rsatadi.
Hosilalarni bunday approksimatsiyalash uslubi oshkormas deb atalishiga sabab vaqtning yangi qatlamidagi temperaturalar maydoni oshkormas ifodalangan, ya’ni ularni aniqlash uchun (5.2) tenglamalar sistemasini yechish zarur.
Bu tenglamalar sistemasini progonka usuli bilan yechamiz. Bu hisob jaryonida 1 rasmdagi 1-soha da 1-plastinka boshlangich malumotlaridan, 2-soha da 2-plastinka boshlang’ich ma’lumotlaridan, plastinkalarning tutash chegarasi da esa to’rtinchi chegaraviy shartdan foydalanamiz.
Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasini plastinkalarning ichki tugun nuqtalari uchun quyidagicha umumiy ko’rinishga keltirish mumkin:

bu yerda

Bunday tenglamalar ikkinchi tartibli uch nuqtali deb ataladi.(5.3) sistema uch diagonally tuzilmaga ega.Shuning uchun nostatsionar masala qaralayotganligi sababli (5.3) sistemani har bir vaqt qadamida yechish zarur.
Faraz qilaylik, shunday va sonlar ketma-ketligi mavjudki, ular uchun

tenglik o’rinli, ya’ni ikkinchi tartibli uch nuqtali (4.3) tenglama birinchi tartibli ikki nuqtali (5.4) tenglamaga aylanadi. (5.4) tenglikda indeksni bittaga kamaytiramiz va hosil bo’lgan ushbu ifodani (5.3) tenglamaga qo’yamiz:

Bu yerdan esa

Oxirgi tenglik (4.4) ko’rinishida va u bilan aynan mos boladi, agar barcha lar uchun quyidagi munisabatalr bajarilsa:

Bu yerdagi barchalarni aniqlash uchun chap chegaraviy shartlardan topiladigan va larni bilisimiz zarur.
Endi (5.4) formula bo’yicha ketma-ket larni topish mumkin, agar faqatgina o’ng chegaraviy shardan T topilgan bo’lsa.
Shunday qilib, (5.3) ko’rinishdagi tenglamaning yechimini yuqoridagidek izlash uslubi haydash (progonka) usuli deb atalib, uchta formula bo’yicha hisoblashlarga olib kelinadi: (5.5) formulalar bo’yicha progonka koeffisiyentlari deb ataluvchi va lar (to’g’ri progonka) va keyin esa (5.4) formula bo’yicha noma’lumlar topiladi (teskari progonka).
Progonka usulini muvaffaqiyatli qo’llash uchun hisoblashlar jarayonida nolga bo’lish holati paydo bo’lmasligi va katta o’lchamli sistemalarda yaxlitlash xatoligi tez oshib ketmasligi lozim.
Progonkani korrekt deb ataymiz, agar (5.5) formulalarda progonka koeffisiyentlarining maxrajlari nolga aylanmasa va uni ustovor deb aytamiz, agar barcha lar uchun shart bajarilsa.
(5.3) tenglamalar progonkasining korrektligi va ustivorligining yetarli sharti

ushbu usulning ko’plam tadbiqlarida o’z-o’zidan bajariladi.
(5.2) sistemaga qaytib, progonka koeffisiyentlarini aniqlaymiz va olingan sistemani yechishning to’la algoritmini tuzamiz.
Ma’lumki, x da , =u holda


Xuddi shunday, x da ,= u holda

Bu yerdan esa
Progonka koeffisiyentlari (5.5) formulalardan hisoblanadi.
Shunday qilib, (5.1) differensial masalani approksimatsiyalovchi ayirmali munosabatlar quyidagi ko’rinishga keladi:




(5.2) differensial masalaning approksimatsiyasi (5.7)-(5.8) bo’lib, t vaqt bo’yicha birinchi va x fazoviy koordinata bo’yicha ikkinchi tartibli aniqlikda bajarilgan. Bu oshkormas ayirmali sxema absolyut ustivor, ya’ni (5.1) chegaraviy masalani vaqt bo’yicha ixtiyoriy ayirmali qadam bilan integrallash mumkin.Vaqt bo’yicha qadam shunday tanlanadiki, to’la kuzatuv vaqtining intervali hech bo’lmaganda kamida 10 ta qadamga bo’linishi lozim.
Mathcad dasturi natijalari esa quyidagicha:

6-rasm.

XULOSA

Mazkur kurs ishimning muhim natijalari quyidagilar:
 amaliy matematika masalalarini matematik modellashtirish jarayonida xususiy hosilali differensial tenglamalar, ularni chekli ayirmalar (to’rlar) usuli bilan Mathcad matematik paketi yordamida taqribiy yechishning muammolari o‟rganildi, uni amalga oshirishning bosqichlari ishlab chiqildi;
 xususiy hosilali differensial tenglamalarni har xil oshkor va oshkormas sxemalar bilan yechish orqali ularni taqribiy yechishning imkoniyatlari ko‟rsatildi, hisob algoritmiga oid tushunchalar bilan tanishildi, amaliy masalalar yechildi;
 olingan sonli yechimlar analitik yechimlar bilan taqqoslandi, hisob jarayonining to’g’ri ekanligi, algoritm va dasturdan samarali foydalanish mumkinligi ko‟rsatildi;
 ishlab chiqilgan hisob metodikasi va yaratilgan hisob dasturiy vositasidan har xil xususiy hosilali parabolik tipdagi differensial tenglamalarga (xususan, issiqlik o‟tkazuvchanlik tenglamalariga) oid amaliy masalalarini yechishda samarali foydalanish mumkin;
 tadbiq uchun mexanikaga oid aniq amaliy masalalar sonli yechildi, hisob algoritmi yaratildi, hisob dasturiy vositasi yuqori bosqichli algoritmik tilda tuzildi, natijalar taqqoslandi va tegishli xulosalar chiqarildi hamda amaliy tadbiq uchun tavsiyalar berildi.