«amaliy matematika va informatika» kafedrasi «Hisoblash usullari» fanidan kurs ishi

2.1 O’zgartirilgan Eyler usuli.
To'g'riroq.Dastavval kerakli funksiyaning yordamchi qiymatlari hisoblanadi  nuqtalarda  keyin (3.1) tenglamaning o'ng tomonining qiymati o'rta nuqtada topiladi  va aniqlang.


(3.4)
Formulalar (3.4) Eyler usulining takrorlanuvchi formulalari.
Nuqtadagi xatoni taxmin qilish uchun X uchun hisob-kitoblarni bajaring da uchun qadam ba qadam h, keyin qadam bilan 2 h va bu qiymatlar farqining 1/3 qismini oling:

qayerda y(x) differensial tenglamaning aniq yechimidir.
Eyler usuli osonlik bilan differensial tenglamalar tizimiga va yuqori tartibli differensial tenglamalarga tatbiq etiladi. Ikkinchisini birinchi navbatda birinchi tartibli differentsial tenglamalar tizimiga keltirish kerak.
Runge-Kutta usullari quyidagi xususiyatlarga ega:
Bu usullar bir bosqichli: topish da   oldingi nuqta haqida ma'lumot kerak (x uchun  y uchun ) 
Usullar buyurtma shartlariga qadar Teylor seriyasiga mos keladi h p daraja qayerda R uchun farq qiladi turli usullar va seriya raqami yoki deyiladi usul tartibi
Ular hosilalarini talab qilmaydi f(x y) lekin funksiyaning o'zini hisoblashni talab qiladi
Runge-Kutta algoritmi uchinchi buyurtma:


Runge-Kutta algoritmi to'rtinchi buyurtma:


Uchinchi va to'rtinchi tartibli algoritmlar har bir bosqichda mos ravishda uchta va to'rtta funktsiyani hisoblashni talab qiladi, lekin juda aniq.

2.2. Adams usuli.

Adams usuliga ishora qiladi ko'p bosqichli DE yechim sxemalari, joriy tugundagi yechim, bir bosqichli usullarda bo'lgani kabi, bitta oldingi yoki keyingi tarmoq tugunidagi ma'lumotlarga bog'liq emas, balki ma'lumotlarga bog'liqligi bilan tavsiflanadi. bir nechta qo'shni tugunlar.
Adams usullarining g'oyasi aniqlikni oshirish uchun oldingi bosqichlarda allaqachon hisoblangan qiymatlardan foydalanishdir.

Agar qiymatlar ishlatilsa k oldingi tugunlar, keyin biz tenglamani integratsiyalashning k-bosqich usuli haqida gapiramiz. Ko'p bosqichli usullarni yaratish usullaridan biri quyidagicha. Oldingi k tugunlarda hisoblangan funktsiya qiymatlariga asoslanib, darajaning interpolyatsiya polinomi (k-1) -L k -1 (x) , differensial tenglamani quyidagi ifoda bilan integrallashda foydalaniladi:

Bunday holda, integral kvadratura formulasi orqali ifodalanadi:
qayerda λ l kvadratura koeffitsientlaridir.
Shunday qilib olingan formulalar oilasi deyiladi aniqk -Adams qadam diagrammasi. Ko'rinib turibdiki, at k=1 alohida holat sifatida Eyler formulasi olinadi.
Masalan, 4 ta buyurtma formulasi uchun bizda:

- oldingi nuqtalardagi qiymatlar yordamida hisoblangan "prognoz",  prognozni olish nuqtasida hisoblangan funktsiyaning taxminiy qiymati,  - prognoz qiymatini "tuzatish";   Adamsga ko'ra kerakli qiymatdir.
Dni yechishning bu usulining afzalligi shundaki, har bir nuqtada funksiyaning faqat bitta qiymati hisoblanadi . Kamchiliklarga ko'p bosqichli usulni bitta boshlang'ich nuqtadan boshlashning mumkin emasligi kiradi, chunki hisob-kitoblar uchun k-qadam formulasi funksiya qiymatining qiymatini talab qiladi k tugunlar. Shuning uchun kerak (k-1) birinchi tugunlarda yechim  bir bosqichli usul yordamida, masalan, 4-tartibli Runge-Kutta usuli yordamida olinadi.
Yana bir muammo - yechim jarayonida qadamni o'zgartirishning mumkin emasligi, bu bir bosqichli usullarda osonlik bilan amalga oshiriladi.