|
1.2 Klassik 4-tartibli Runge-Kutta usuli.
Uning maqsadi “qizil kvadratlar”ni “yashil nuqtalar”ga yanada yaqinlashtirishga erishishdir. Qanchalik yaqin, deb so'rayapsizmi? Ko'pchilikda, xususan, jismoniy tadqiqotlar, 10-chi, hatto 50-chi aniq kasr nuqtasi. Yo'q, bunday aniqlikka oddiy Eyler usuli bilan erishish mumkin, ammo bo'shliqni Qancha qibo'lish kerak bo'ladi.Garchi zamonaviy hisoblash quvvati bilan bu muammo emas Xitoy kosmik kemasining minglab stokerlari kafolatlanadi!
Va, sarlavha to'g'ri ko'rsatganidek, Runge-Kutta usulidan foydalanganda har qadamda funksiyaning qiymatini hisoblashimiz kerak
4-marta (oldingi xatboshidagi ikki tomonlama hisob-kitobdan farqli o'laroq). Ammo, agar siz xitoyliklarni yollagan bo'lsangiz, bu vazifa juda qiyin. Har bir keyingi "yunoncha" qiymat avvalgisidan olinadi - biz formulalarni ushlaymiz:
qayerda , bu erda:
Tayyormisiz? Xo'sh, endi boshlaylik .
Shunday qilib:
Birinchi qator dasturlashtirilgan va formulalarni misoldagidek ko'chiraman:
Runge-Kutta usulini bunchalik tez tugataman deb o'ylamagandim.
Chizma hech qanday ma'noga ega emas, chunki u endi ko'rsatkich emas. Keling, analitik taqqoslash qilaylik aniqlik uchta usul, chunki aniq yechim ma'lum bo'lganda , keyin solishtirmaslik gunohdir. Tugun nuqtalaridagi funktsiya qiymatlari xuddi shu Excelda hisoblab chiqiladi - formulani to'ldirib, qolgan qismiga takrorlaganimizdan keyin.
Quyidagi jadvalda men qiymatlarni (uchta usulning har biri uchun) va mos keladiganlarni umumlashtiraman mutlaq xatolar taxminiy hisob-kitoblar:
Ko'rib turganingizdek, Runge-Kutta usuli takomillashtirilgan Eyler usulidagi 2 ta to'g'ri kasrga nisbatan 4-5 ta to'g'ri kasrni beradi! Va bu tasodif emas:
– “Oddiy” Eyler usulining xatosi oshmaydi qadam bo'limlar. Va aslida - xatolarning eng chap ustuniga qarang - verguldan keyin faqat bitta nol bor, bu bizga 0,1 aniqligi haqida gapiradi.
– Kengaytirilgan Eyler usuli aniqlikni kafolatlaydi: (o'rtadagi xato ustunidagi kasrdan keyin 2 nolga qarang).
- Nihoyat, klassik Runge-Kutta usuli aniqlikni ta'minlaydi .
Belgilangan xatolarni baholash nazariy jihatdan qat'iy asoslanadi.
Qanday qilib men Hala yaqinlashuvning aniqligini oshirishim mumkin? Javob aniq falsafiy: sifat va / yoki miqdor =) Xususan, Runge-Kutta usulining boshqa, aniqroq modifikatsiyalari mavjud. Miqdoriy usul, yuqorida aytib o'tilganidek, qadamni kamaytirishdir, ya'ni. segmentni bo'lishda katta miqdorda oraliq kesmalar. Va bu raqamning ortishi bilan singan chiziq borgan sari aniq yechim grafigiga oʻxshab qoladi va chegara doirasida- mos keladi.
Matematikada bu xususiyat deyiladi egri tekislash. Aytmoqchi (kichik oftopik), hamma narsadan uzoqda "to'g'rilash" mumkin - men eng qiziqarlisini o'qishni maslahat beraman, bunda "o'rganish maydoni" ning pasayishi o'rganish ob'ektini soddalashtirishga olib kelmaydi.
Shunday bo'ldiki, men faqat bitta differentsial tenglamani tahlil qildim va shuning uchun bir nechta qo'shimcha mulohazalar. Amalda yana nimani yodda tutish kerak? Muammo holatida sizga boshqa segment va boshqa bo'lim taklif qilinishi mumkin va ba'zida quyidagi so'zlar paydo bo'ladi: "usul bo'yicha ... ... oraliqda, uni 5 qismga bo'ling". Bunday holda, siz bo'lim bosqichini topishingiz kerak , va keyin odatiy yechim sxemasiga amal qiling. Aytgancha, boshlang'ich shart quyidagi shaklda bo'lishi kerak: , ya'ni "x nol", qoida tariqasida, segmentning chap uchiga to'g'ri keladi. Majoziy ma'noda, singan chiziq har doim nuqtani "tark qiladi".
Ko'rib chiqilayotgan usullarning shubhasiz afzalligi shundaki, ular juda murakkab o'ng tomoni bo'lgan tenglamalarga qo'llanilishi mumkin. Va mutlaq kamchilik - bu shaklda har bir diffurni ifodalash mumkin emas.
Ammo bu hayotda deyarli hamma narsani tuzatish mumkin! - Axir, biz mavzuning kichik bir qismini ko'rib chiqdik va semiz, juda semiz kitoblar haqidagi iboram umuman hazil emas edi. DE va ularning tizimlariga yechim topish uchun juda ko'p taxminiy usullar mavjud bo'lib, ularda boshqa narsalar qatorida tubdan farqli yondashuvlar qo'llaniladi. Shunday qilib, masalan, ma'lum bir yechim bo'lishi mumkin kuch qonuni bilan taxminan. Biroq, bu boshqa bo'lim uchun maqola.
Umid qilamanki, men zerikarli hisoblash matematikasini diversifikatsiya qilishga muvaffaq bo'ldim va siz qiziqdingiz!
E'tiboringiz uchun rahmat!
Ma'lumki birinchi tartibli oddiy differensial tenglama ko‘rinishga ega bo‘ladi: .Bu tenglamaning yechimi differensiallanuvchi funksiya bo‘lib, u tenglamaga almashtirilganda uni o‘ziga xoslikka aylantiradi. Differensial tenglamani yechish grafigi (1.-rasm) deyiladi integral egri chiziq.
Har bir nuqtadagi hosilani shu nuqtadan o'tuvchi eritma grafigiga teginish qiyaligining tangensi sifatida geometrik talqin qilish mumkin, ya'ni:.
Asl tenglama yechimlarning butun oilasini belgilaydi. Bitta yechimni tanlash uchun sozlang Dastlabki holat: , argumentning berilgan qiymati qayerda, va funktsiyaning boshlang'ich qiymati.
Cauchy muammosi asl tenglama va dastlabki shartni qanoatlantiradigan funksiyani topishdan iborat. Odatda, Koshi muammosining yechimi boshlang'ich qiymatning o'ng tomonida joylashgan segmentda aniqlanadi, ya'ni.
Oddiy birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun ham har doim ham analitik yechimni olish mumkin emas. Shuning uchun echishning son usullari katta ahamiyatga ega. Raqamli usullar ba'zi tanlangan argument qiymatlari to'plamida kerakli echimning taxminiy qiymatlarini aniqlashga imkon beradi. Ballar chaqiriladi panjara tugunlari, va qiymat panjara qadamidir. tez-tez hisobga olinadi forma panjaralar, buning uchun qadam doimiydir. Bunday holda, yechim har bir panjara tugunlari tarmoq tugunlaridagi funktsiyaning taxminiy qiymatlariga mos keladigan jadval shaklida olinadi.
Raqamli usullar umumiy shaklda yechim topishga imkon bermaydi, lekin ular differensial tenglamalarning keng sinfiga nisbatan qo'llaniladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
