Amaliy matematematika va informatika yo’nalishi” Mavzu: Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish kurs ishi bajardi: 18. 08-guruh talabasi Yo’ldashova Nargizaxon kurs ishi rahbari: A. Axmedov

2.2 Laplas tenglamasi uchun ichki va tashqi chegaraviy masalalar

Aytaylik,  yopiq sirt bilan chegaralangan Т соҳа берилган бўлсин va f funksiya  sirtda berilgan qandaydir uzluksiz funksiya. U holda Laplas tenglamasi uchun birinchi ichki chegaraviy masala quyidagicha qo‘yilar edi.
Birinchi ichki chegaraviy masala
Shunday u funksiya topingki, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   Т+ yopiq sohada u funksiya aniqlangan va uzluksiz
   
2. 
   Т sohaning ichida u=0 tenglamani qanoatlantiradi.
   
3. 
   chegarada berilgan f qiymatni qabul qiladi.
   

(а) shartdan T sohaning ichida funksiyaning garmonik ekanligi tushuniladi. Sohaning chegarasida funksiyaning garmonikligini talab etish chegaraviy qiymatga ko‘proq shart tushishga olib kelar edi.
Yopiq sohada u funksiyaning uzluksizlik sharti yechimning yagonaliligi uchun zarur.
Agar bu shartdan voz kechilsa, u holda T sohaning ichida o‘zgarmas С ga,  chegarasida esa f ga teng har qanday funksiya qo‘yilgan masalaning yechimi bo‘lar edi.
Yagonalik teoremasi
Laplas tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masala ikkita turli yechimga ega bo‘lishi mumkin emas.
Isbot. Aytaylik, u₁ va u₂ qo‘yilgan masalaning ikkita turli yechimi bo‘lsin deb, teskaridan faraz qilaylik.
Bu funksiyalarning ayirmasi v=u₁-u₂ қуйидаги хоссаларга эга бўлади:

1. 
   v=0 Т sohaning ichida
   
2. 
   Т+ yopiq sohada v funksiya uzluksiz
   
3. 
   v|_=0, ya’ni chegaradagi qiymati nolga teng
   

Shunday qilib, v(M) funksiya T sohada uzluksiz va garmonik, hamda chegarada nolga teng.
Ma’lumki har qanday yopiq sohada uzluksiz funksiya o‘zining maksimum qiymatiga albatta erishadi.
v0 ekaniga ishonch hosil qilamiz.
Agar v0, bo‘lib, hech bo‘lmaganda bitta nuqtada v>0 bo‘lsa, u holda v funksiya o‘zining musbat maksimum qiymatiga sohaning ichida erishadi. Bu esa mumkin emas.
Bulardan v0 ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa u₁u₂ bo‘ladi. Endi birichi chegaraviy masala yechimining chegaraviy shartlarga uzluksiz боғлиқ ekanini ko‘rsatamiz. Eslatib o‘tamizki, qo‘yilgan masala fizik ma’noda aniqlangan bo‘lishi uchun masala yechimini aniqlovchi chegaraviy shartning ozgina o‘zgarishiga bu yechimning ham ozgina o‘zgarishi mos kelishi lozim.
Aytaylik, u₁ va u₂ funksiyalar Т+ da uzluksiz, T ning ichida garmonik funksiyalar bo‘lib,  chegarada |u₁-u₂| bo‘lsin. U holda ektremum prinsipining natijasiga asosan T sohaning ichida ham |u₁-u₂| bo‘ladi.
Shunday qilib, birinchi ichki chegaraviy masala yechimini yagonaligi hamda bu yechimni chegaraviy shartlarga uzluksiz bog‘liq ekanligini isbotladik.