Amaliy matematematika va informatika yo’nalishi” Mavzu: Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish kurs ishi bajardi: 18. 08-guruh talabasi Yo’ldashova Nargizaxon kurs ishi rahbari: A. Axmedov

Birinchi tashqi chegaraviy masala (Tashqi Dirixle masalasi).
Aytaylik, T soha  yopiq sirtning tashqi sohasi bo‘lsin (1-rasm)
Shunday, u(x,y,z) funksiya topilsinki, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1-rasm

1. 
   T chegaralanmagan sohada u=0
   
2. 
    sirtni ham hisoblaganda sohaning hamma yerida uzluksiz
   
3. 
   u|_=f(x,y,z) bu yerda f –  sirtda berilgan funksiya.
   
4. 
   Cheksizlikda u(M) funksiya 0 ga tekis yaqinlashadi:
   

Oxirga shart yechimning yagonaligi uchun zarur bo‘ladi.
Misol uchun, R radiusli S_k birinchi tashqi masalani shart bilan yechish talab etilsin.
4) shartni e’tiborga olmasak, bu masala yechimi sifatida u₁=f₀ va , ҳамда har qanday

funksiyalarni olishimiz mumkin bo‘lar edi.
Yuqorida qo‘yilgan birinchi tashqi masala yagona yechimga ega ekanligini isbotlaymiz.
Isbot. Aytaylik masala, ikkita u₁ va u₂ yechimga ega bo‘lsin. U holda v=u₁-u₂ funksiya ham bir jinsli chegaraviy shartli masalaning yechimi bo‘ladi, ya’ni

1. 
   Т da v=0
   
2. 
   Т+ da v uzluksiz
   
3. 
   v|_=0
   
4. 
   
   

bu yerdagi 4-shartga asoslanib, ixtiyoriy >0 uchun shunday R^* ni topish mumkinki, natijada
да
o‘rinli bo‘ladi.
Т` soha  sirt hamda r ( ) radiusli S<sub>r­</sub> sfera orasidagi soha bo‘lsin. (2-расм).
Agar nuqta Т` sohaning ichida yotsa, u holda Т` soha uchun ektremum prinsipiga asosan bo‘ladi.  ning ixtiyoriy ekaniga asosan v0 ekani kelib chiqadi.

2-rasm.
Bu esa fazoda birinchi tashqi masala yechimining yagonaligini isbotlaydi.
Ma’lumki, tekislikda birinchi tashqi masala quyidagicha qo‘yilar edi. Va u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
1) C yopiq kontur bilan chegaralangan  cheksiz sohada u=0
2) C konturni ham o‘z ichiga olgan  sohada u funksiya uzluksiz
3) u|_C=f(x,y), bu yerda f – С da berilgan funksiya
3) u(M) funksiya cheksizlikda chegaralangan, ya’ni shunday N
son mavjudki, |u(M)|N bo‘ladi.
Bu masala yechimining yagonaligini isbotlaymiz.
Masalaning u₁ va u₂ turli xil 2 ta yechimi bor deb faraz qilib, ularning v=u₁-u₂ ayirmasini qaraymiz. Bu yerda v funksiya quyidagi xossalarga ega bo‘ladi.
С ni o‘z ichiga olgan  sohada uzluksiz va v=0
v|_C=0
|v|N=N₁+N₂, bu yerda N₁ va N₂ lar |u₁|N₁; u₂N₂ dan olingan.
 sohaning butun tekislikka to’ldiradigan C ning ichidagi sohani ₁ deb belgilaymiz.
₁ ning ichida М₀ nuqtani olib, bu nuqtani markaz qilib R radiusli doirani olamiz (3-rasm)

3–rasm

 sohada garmonik funksiya maxsuslikka ega emas, С ni o‘z ichiga olgan  sohada funksiya har doim musbat.

Aytaylik, – markazi М₀ da, radiusi R₁ bo‘lgan hamda С konturni to‘lig‘icha o‘z ichiga olgan doira; hamda С va egri chiziqlar bilan chegaralangan soha ¹ bo‘lsin.
Quyidagi

tenglik bilan aniqlanadigan funksiya garmonik funksiya, N ni R₁ radiusga tenglasak, С da musbat bo‘ladi. |v(M)| funksiya uchun mojarant funksiya bo‘ladi:
|v(M)|< (M)
M nuqtani tayinlab (fiksirlab) R₁ ni cheksiz marta kattalashtiramiz. Aniqki, da bo‘ladi. Bundan
v(M)0
ekani kelib chiqadi.
M nuqtani ixtiyoriy ekanligidan, qo‘yilgan masala yechimining yagonaligi isbotlanadi.
Endi ikkinchi chegaraviy masalalarni qaraymiz.
Ikkinchi ichki chegaraviy masala quyidagicha qo‘yiladi:
Т+ sohada uzluksiz va u=0, hamda  sirtda

shartlarni qanoatlantiruvchi u funksiya topilsin.
Bu masala yechimining o‘zgarmas aniqligida yagonaligini isbotlaymiz.
Aytaylik, Т+ sohada u funksiya uzluksiz birinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin.
Faraz qilaylik, ikkita u₁ va u₂ Т+ sohada uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar qo‘yilgan masalaning yechimi bo‘lsin. U holda u=u₁-u_2­ funksiya uchun

bo‘ladi.
Birinchi Grin formulasida v=u deb va u=0; hamda, munosabatlardan quyidagiga ega bo‘lamiz:

Bu yerdan u функция va uning birinchi tartibli hosilalarining uzluksizligidan
ya’ni u=const
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, ikkinchi ichki masalaning har qanday ikkita yechimi bir-biridan faqat o‘zgarmas songagina far qilar ekan.
Ikkinchi tashqi chegaraviy masalaning cheksizlikda regulyar bo‘lgan yechimining yagonaligini isbotlashda, biz Grin formulalaridan kelib chiqadigan
(*)
formuladan foydalanamiz.
Buning uchun (*) formulada v=u=u₁-u₂ deb va u=0; ekanidan foydalansak

bundan esa, u funksiyaning hosilalarining uzluksiz ekanligidan
u_x=0, u_y=0, u_z=0 va u=const
ekani kelib chiqadi.
Masalaning shartiga ko‘ra da u=0 bo‘lgani uchun
uu₁-u₂0 yoki u₁=u_­2
ekanini olamiz. Bundan esa ikkinchi tashqi chegaraviy masala (tashqi Neyman masalasi) yechimining yagonaligi kelib chiqadi.
Shu usulda birinchi ichki chegaraviy masala yechimining yagonaligini isbotlaymiz:
Aytaylik, u₁ va u₂ funksiyalar turli xil yechimlar bo‘lsin.  sirt bilan chegaralangan Т sohada birinchi Grin formulasini u₁-u₂ va v=u funksiyalar uchun ыщллаб,

ni hosil qilamiz.
Bu yerda
u=0;
ekanidan

ni hosil qilamiz va natijada
u_x=u_y=u_z=0 va u=const bo‘ladi.
 sirtda u funksiya nolga tengligidan foydalansak,
u0 ва u₁=u_­2
ekanini hosil qilishimiz mumkin.
Yuqorida ko‘rsatilgan chegaraviy masalalar yechimlarining yagonaligi bu masalalar yechimining mavjudligini ko‘rsatish uchun asos bo‘lib xizmat qiladi.