Amaliy mashg’ulot: Matematik fizika tenglamalarini sonli yechish usullari

Usulning yoritilishi
kesmani uzunligi bo’lgan ta teng kesmalarga ajratamiz, bu yerda . Bo’linish nuqtalarining absissasi kabi bo’ladi. Bo’linish nuqtalari lar uchun funksiya va uning hosilalarini kabi belgilaymiz. Bulardan tashqari quyidagicha belgilashlar kiritamiz:

Har bir ichki tugunlarda hosilalarni taqribiy chekli ayirmalar
(7.5)
kesmaning chetlarda esa
(7.6)
chekli ayirmalar bilan almashtiramiz.
(7.5) va (7.6) taqribiy formulalarni (7.3) tenglama va (7.4) chegaraviy shartlarga qo’yib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(7.7)
Agar va lar o’rniga markaziy ayirmalarni qo’llasak yanada aniqroq formulalarni hosil qilamiz, ya’ni

U holda
(7.8)
sistemani hosil qilamiz. Shunday qilib, har ikkala holda ham ta noma’lumlarga ega bo’lgan chiziqli algebraik tenglamadan iborat bo’lgan sistemaga ega bo’ldik. Agar ushbu sistemani yechish mumkin bo’lsa, u holda izlanayotgan funksiyaning taqribiy qiymatlarini jadval shaklida hosil qilamiz.
(7.3) - (7.4) chegaraviy masalaga chekli ayirmalar usulini qo’llash xatoligi quyidagicha bo’ladi:

Bu yerda - bo’lgandagi aniq yechimning qiymati va .


Misol. Chekli ayirmalar usulini qo’llab quyidagi chegaraviy masalaning yechimini aniqlang:
(7.9)
Yechish. (7.8) formulani qo’llab, (7.9) tenglamalar sistemasini chekli ayirmalar orqali quyidagicha yozamiz:

O’xshash hadlarni ixchamlab
(7.10)
hosil qilamiz. qadamni 0,1 deb tanlasak uchta ichki tugunlarni hosil qilamiz. . (7.9) tenglamani har bir tugun uchun yozsak
(7.11)
sistemani hosil qilamiz.
Chegaraviy tugunlarda ekanini bilgan holda, (7.11) sistemani yechamiz va izlanayotgan funksiyaning quyidagi qiymatlarini hosil qilamiz:

(7.9) tenglamaning aniq yechimi funksiyadan iborat. Aniq yechimning tugunlardagi qiymatlari

kabi bo’ladi. Bu qiymatlardan ko’rinib turibdiki, taqribiy va aniq yechimning tugunlardagi qiymatlari orasidagi farq dan oshmaydi.
Tugunlar soni kata bo’lganda uchun (7.7)-(7.8) tenglamalar sistemasini yechish murakkablashadi. Quyida bunday hollar uchun mo’ljallangan ancha sodda usulni qaraymiz.