Амалий машғулот Мавзу: Технологик жараёнларнинг турғунлик мезонлари ва тизимнинг турғунлигини аниқлашга доир мисоллар

7-Амалий машғулот
Мавзу: Технологик жараёнларнинг турғунлик мезонлари ва тизимнинг турғунлигини аниқлашга доир мисоллар.
АБСларни ишлаш қобилиятига қўйилган талаб, уларнинг турли хил ташқи қўзғатувчи таъсирига носезгир бўлишига мўлжалланган бўлишидир.
Агарда система турғун бўлса, унда у ташқи қўзғатувчи таъсирларга бордош бера олади ва ўзининг мувозанат ҳолатидан чиқарилганда яна маълум аниқликда шу ҳолатига қайтиб келади. Агарда система нотурғун бўлса, унда у ташқи қўзғатувчи таъсир натижасида мувозанат ҳолати атрофида чексиз катта амплитудага эга бўлган тебранишлар ҳосил қилади ёки мувозанат ҳолатидан чексиз узоқлашади.
А гарда ҳар қандай чекланган кириш катталигининг абсолют қийматида чиқиш катталиги ҳам чекланган қийматга эга бўлса, бундай система турғун деб юритилади (1-расм.).
1-расм. а, в турғун холатлар; б нотурғун холат.

А.М.Ляпунов бўйича турғунлик масаласининг умумий қўйилиши. Биринчи яқинлашиш бўйича турғунлик ҳаракати ҳақидаги А.М.Ляпунов теоремаси. Чизиқли автоматик бошқариш системасининг турғунлик шароитлари.
Кириш катталиги x(t) ва чиқиш катталиги y(t) бўлган системани кўриб чиқамиз (2-расм).


2-расм.

Системанинг харакат тенгламасини умумий кўринишда қуйидагича ёзиш мумкин:

. (1)
Системанингтурғун ёки нотурғунлигини кўриш учун (1) тенгламанинг ечимини аниқлаш керак бўлади.
, (2)
бу ерда y_m(t) – (1) тенгламанинг хусусий ечим бўлиб (мажбурий ташкил этувчи), системада мувозанат режимини ифодалайди; y_э(t) – (1) тенгламанинг ўнг томони нолга тенг бўлгандаги умумий ечими бўлиб (эркин ташкил этувчиси), у тенгламанинг ўткинчи режимини ифодалайди.
бўлганда (3)
бўлиши системанинг турғунлигини ифодалайди.
Агар (3) шарт бажарилса, унда система турғўн бўлади. (1) тенгламанинг ўткинчи (эркин) ташкил этувчиси y_э(t)
(4)
тенгламанинг ечимини ифодалайди.
Бу тенгламадан кўриниб турибдики, унинг ечими (1) тенгламанинг ўнг томонидаги b_i коэффициентга ва x(t) функциянинг ўзгариш характерига боғлиқ эмас экан. (3) шартга кўра, системанинг турғунлиги ёки нотурғунлиги коэффициентлар b_i ва кириш катталиги x(t) функцияга боғлиқ эмас экан
Демак, истсеманинг турғунлиги унинг ички хусусияти бўлиб, унга таъсир этувчи сигналларга боғлиқ эмас.
(4) тенгламанинг ечимини аниқлаш учун характеристик тенгламани оламиз:
, (5)
бу ерда p₁, p₂, …, p_n – (5) характеристик тенгламанинг илдизлари бўлиб, улар хар хил бўлсин, унда (4) тенгламанинг ечимини қуйидаги кўринишда кўрсатиш мумкин:
(6)
с_i – системага қуйилган бошланғич шартлар бўйтча аниқланадиган ихтиёрий ўзгармас сон.
Шундай қилиб, чизиқли системанинг турғўнлигини характеристик тенгламанинг илдизлари аниқлар экан. Илдизлар эса ҳақиқий, комплекс ва мавҳум бўлиши мумкин.
Чизиқли система узатиш функцияси W(p) нинг ҳамма қутблари ҳақиқий қисмининг манфий ишорага эга бўлиши унинг турғун бўлишининг зарур ва етарли шарти ҳисобланади.
Узатиш функциясининг махражидаги полином илдизларини узатиш функциясининг қутблари суратидаги полином илдизларини узатиш функциясининг ноллари дейилади.
Очиқ система учун
. (7)
Очиқ система узатиш функциясининг характеристик тенгламаси Q(p)=0 нинг илдизлари ҳақиқий қисмининг манфий бўлиши очиқ системанинг турғўн бўлишининг етарли ва зарур шартидир.
Берк система учун
, (8)
A(p)=1+W(p)=0 – берк системанинг характеристик тенгламаси.
Берк система характеристик тенгламаси A(p)=0 илдизлари ҳақиқй қисмининг манфий бўлиши унинг турғун бўлишининг етарли ва зарурий шартидир.
Турғунликнинг бу шарти А.М.Ляпунов томонидан ночизиқли системаларнинг чизиқлантирилган тенгламалари учун исботланди ва қўлланилди. Қуйида бу теоремани исботсиз келтирамиз:
1 – теорема: Агар чизиқлантирилган система характеристик тенгламаси ҳамма илдизларининг ҳақиқий қисми манфий бўлса, унда реал система хам турғун бўлади, яъни жуда кичик ночизиқли ҳадлари системанинг турғунлик холатига таъсир кўрсата олмайди.
2 – теорема: Агарда чизиқлантирилган система характеристик тенгламасининг бирорта илдизи мусбат ҳақиқий қисмга эга бўлса, унда реал система нотурғун бўлади, яъни жуда кичик ночизиқли ҳадлари системани турғун қила олмайди.
3 – теорема: Агар чизиқлантирилган система характеристик тенгламасининг илдизлари мавҳум ёки нолга тенг бўлса, унда реал система турғунлик чегарасида бўлади, бунда жуда кичик ночизиқли хадлар ўткинчи жараён кўринишини тубдан ўзгартириб юбориши, ҳамда реал системани турғун ёки нотурғун ҳолатга келтириши мумкин.
Шундай қилиб, система турғунлигини тадқиқ этиш уининг характеристик тенгламаси илдизларининг ишорасини аниқлашдан, яъни характеристик тенглама илдизларини комплекс текислигида мавҳум ўққа нисбатан қандай жойлашганлигини аниқлашдан иборат экан.

Комплекс текислигида характеристик тенглама илдизларининг мавҳум ўққа нисбатан жойлашганлигини аниқлайдиган қоидаларга турғунлик меъзонлари дейилади.

Системанинг турғунлик масалаларини ечишда қуйидаги турғунлик мезонларидан фойдаланилади:
1) Турғунликнинг алгебраик мезонлари:
а) Гурвиц мезони;
б) Раусс мезони.
2) Турғунликнинг частотавий мезонлари:
а) Михайлов мезони;
б) Найквист мезони;
в) Турғунликнинг логарифмик мезони.
3) D – бўлиниш усули.