Аллакова Дилбар

6,7- MA'RO'ZA
MAVZU: NATURAL SONLAR SISTEMASI. MATEMATIKA INDUKSIYA METODI.BIRLASHMALAR. NYUTON BINOMI.
REJA:

1. Natural sondar sistemasini aksiomatik aniqlash .

2. Matematik induksiya prinsipi.

3. Birlashmalar. O'rinlashtirishlar, o'rin almashtirishlar, gruppalashlar.

4. Nyuton binomi formulasi.

Adabiyotlar [ 1, 2] .
Conli sistemalarni ko'rishning ikki usuli konstruktiv va aksiomatik usullari mavjud. Bu ikkala usul ham to'plam tushunchasiga asoslangan bo'lib, dastlab natural keyin butun, rasional, haqiqiy va kompleks sonlar sistemalari qaraladi.

Konstruktiv usulning mohiyati shundan iboratki, yangi qurilayotgan sistema avvaldan ma'lum bo'lgan tushunchalar yordamida bayon etiladi. Masalan, natural sonlar sistemasi uchun boshdangich tushuncha To'plam hisoblansa, butun sonlar sistemasi uchun boshlang'ich tushuncha natural sonlardir va hokazo. (Konstruktiv usulga natural sonlarni chekli To'plamlarning kuvvati sifati-da kiritishni misol qilib olish mumkin).

Sonlar sistemasini aksiomatik usulda ko'rishda esa har bir sistemaning asosiy xossalari aksiomalar yordamida beriladi.

Biz quyida natural sonlar sistemasini aksiomatik usulda aniqlashni karab chiqamiz. Buning uchun asosiy boshlang'ich munosabat sifatida “b element a elementdan bevosita keyin keladi” munosabatni va shu munosabat o'rinli bo'lgan aksiomalar sistemasini olamiz.

1-ta'rif. Biror bo'sh bo'lmagan N to'plamning a va b elementlari uchun “b element а elementdan bevosita keyin keladi” munosabati o'rinli bo'lib, maskur to'plam elementlari uchun quyidagi 4 ta aksioma bajarilsa, u holda N to'plamning elementlariga natural sonlar deyiladi.

1) hech qanday natural sondan keyin kelmaydigan 1 soni mavjud. (Agar а dan bevosita keyin keladigan elementni а' desak, bu aksiomaga ko'ra а'  1).

2) istalgan а natural sonidan bevosita keyin keluvchi yagona а' natural soni mavjud, ya'ni agar a=b  a'=b',  a,b N.

3) 1 sonidan boshqa har bir natural son birta va faqat birta natural sondan keyin keladi, ya'ni agar a'=b'  a=b, a,b N .

4) agar natural sonlar To'plamining istalgan М Qism to'plami:

а) 1 ni o'z ichiga olsa;

б) ixtiyoriy а М dan, а'  М ekanligi kelib chiqsa, М qism to'plam N natural sonlar to'plami bilan ustma ust tushadi, ya'ni

М  N ( 1  М) va (а М  а' М)  М=N.

Bu aksiomaga induksiya aksiomasi deyiladi. Yuqridagi aksiomalar sistemasi dastlab italyan matematigi Peano (1858-1932) tomonidan kiritilgani uchun, ularni Peano deyiladi.

Induksiya aksiomasining mohiyati quyidagicha:  n  N uchun А (n) B(n) teoremani isbotlaganda avval uning rostligi n =1 da ko'rsatiladi. So'ngra teoremani n =к uchun o'rinli deb olib n=к+1 bo'lganda teoremaning rost ekanligi isbotlanadi. Shundan keyin teorema istalgan n natural soni uchun to'g'ri deb hisoblanadi.

Endi shu usulning to'g'ri ekanligini isbotlaymiz.

Teorema. (Matematik induksiya prinsipi). Agar biror В(n) tasdiq n=1 uchun rost bo'lib, uning n=k da rostligidan n=k+1 da rost ekanligi kelib chiqsa, u holda B(n) tasdiq istalgan n natural soni uchun ham o'rinli bo'ladi.

Isboti. Faraz etaylik, M N to'plam B(n) tasdiq o'rinli bo'lgan to'plam bo'lsin. U holda teorema shartiga ko'ra 1 M va 1'=2 M, 2'=3 M,... . Demak, induksiya aksiomasiga ko'ra M=N.

Misollar.

1. 1²+2²+3²+ ... + n²= (1/6) n(n+1) (2n+1) (1)

tenglikning barcha natural sonlar uchun o'rinli ekanligini isbotlaylik. n=1 da (1) dan