Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti sonlar nazariyasi asoslaridan

121. Yechish. Shart bo’yicha va Demak, yoki bundan va .
122. Yechish. Shart bo’yicha
va Demak,
.
O’ng tomondagi ko’paytuvchilarni chap tomondagi kabi ko’rinishda ko’paytuvchilarni o’rnini almashtiramiz: bundan va va va
123. Yechish. (a, m)=1 shart bajarilganda (a, m-a) = 1 ni bajarilishini ko’rsatamiz. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni (a, m - a) = d > 1, u holda a = dk, m – a = dt, bundan m = d(t + k) va (a, m) = d > 1, bu esa (a, m)= 1 shartga ziddir.
m dan kichik va u bilan tub bo’lgan sonlarni tartib bilan yozamiz:
1, a₁, a₂, …, m – a₂ , m – a₁, m – 1; bu qatorda  (m) son bor. Har qanday a_i songa m – a_i son mos keladi; ular yig’indisi
a_i + (m - a_i) = m, bu juftliklar soni va demak
124. a) 24; b) 54; c) 37500.
125. a) Yechish. bo’lsin. U holda

126. Birinchi hol (a, 2) = 1 bo’lganda o’rinli, ikkinchi hol esa (a, 2) = 2 bo’lganda o’rinli bo’ladi.
127. a) Yechish.  (4n + 2) =  (2)  (2n + 1) =  (2n + 1);
b) Yechish. Agar (n, 2)=1 bo’lsa, u holda  (4n) =  (4)  (n) = 2 (n). Agar n = 2^ k bo’lib, (k, 2) = 1 bo’lsa, u holda  (4n) =  (2^+2  k) = 2^+1 (k) = 2  (2^+1k) = 2 (2n).