Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat unevirsiteti mexanika -matematika fakulteti

1. 
   

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI
SAMARQAND DAVLAT UNEVIRSITETI


MEXANIKA –MATEMATIKA FAKULTETI
“DIFFERENSIAL TENGLAMALAR” KAFEDRASI
SAFAROVA SADOQAT ESOYEVNA
MAVZU: “ GRIN FUNKSIYASI VA UNING
TADBIQLARI.”


MALAKAVIY BITIRUV ISHI

Fakultet dekani : prof.A.A.Soleev

Kafedra mudiri: prof.A. H. Begmatov
Ilmiy rahbar: ass.D.S.SHodiyev


SAMARQAND -2013
Mundarija .
1. Kirish.
2. I-BOB. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechish.
1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va uning xossalari.
2§. Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasi va uning xossalari.
3§.Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir misollar.
3. II-BOB. Matematik fizika tenglamalari uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechish.
1§.Dirixle masalasining Grin funksiyasi .
2§.Dirixle masalasining shar uchun yechilishi
3§.Yarim fazo uchun Dirixle masalasini yechish
4§.Matematik fizika tenglamalari uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir masalalar.
4. Xulosa qismi.
5. Adabiyotlar ro’yxati.


I-BOB. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin
funksiyasi orqali yechish.
1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va uning xossalari.

Ma’lumki ikkinchi tartibli bir jinsli

(1.1.1)
Tenglamaning bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi
formula bilan aniqlanar edi.Bunda lar kurilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir.
(1.1.2)
differentsial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differentsial tenglama deyiladi. (1.1.2) ni ochib chiqsak.

bundan ko’rinadikim , o’ziga qo’shma differentsial tenglamada oldidagi koeffitsient oldidagi koeffitsientning hosilasiga tengdir.
Хоssа-1 har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani o’ziga qo’shma differentsial tenglamaga keltirish mumkin .
(1.1.3)
differentsial tenglama berilgan bo’lsin .
(3) tenglamaning har ikkal tomonini ga ko’paytirganda,u o’ziga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamaga aylansin , ya’ni quyidagi shart bajarilsin .

Bundan

integrallasak

Bunda (6)

deb olsak (2) tenglamaga ega bo’lamiz (6) dan ko’rinadikim

Misol. Bessil tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamaga keltiring .
Bu yerda

Bu Bessil tenglamasiga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamadir.
Хоssа 2. kkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erkli o’zgaruvchini almashtirish yordamida uni hamma vaqt
(8)
ko’rinishga keltirish mumkin
Bunda
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differentsial tenglama o’ziga qo’shma holga keltirilgan bo’lsin . (9)
Bunda
almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan
bo’lgani uchun
ga ega bo’lamiz .
Bunda t o’zgaruvchi х ning monoton o’suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi .Bundan chiqadikim, х ham t ning uzluksiz va differentsiallanuvchi funksiyasi sifatida intervalga mos kelgan intervalda aniqlangan .

Uni
(10)

desak bajariladi.
U holda (11)
(11) ga asosan (9) (10) ni e’tiborga olsak keyingi tenglamani
ko’rinishda yoza olamiz. Bunda
Misol .


Хоssа 3. ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani ,noma’lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida
ko’rinishga keltirish mumkin. (12)
tenglamada almashtirishni olamiz (13)

Bu qiymatlarni (12)ga qo’ysak
(14)
ixtiyoriy funksiya bo’lgani uchun uni shunday tanlab olamizkim
bajarilsin

bundan

Bu qiymatlarni (14) ga qo’ysak

Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi .Agar invariant o’zgarmas songa yoki ko’rinishga ega bo’lsa u holda ikkinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamani hamma vaqt integrallash mumkin .Chunki bu holda (12) tenglama yo koeffitsientlari o’zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.
Misol.

Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari.
Taqqoslash teoremasi .
Koeffitsientlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita tartibli
(1)
(2)
differentsial tenglamalar berilgan bo’lsin .
bunda
ma’lumki (1) tengalamaning xususiy yechimlari ,
dan iborat bo’lib
uning umumiy yechimi dan iborat,
uning nolini topamiz .

ya’ni (1) tengalamaning yechimi da 1 tadan ortiq nolga ega emas .tenglamaning umumiy yechimi

ning nolini topamiz :
ya’ni (2) tenglama oraliqda cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib ,ketma-ket 2 ta nol orasidagi masofa ga teng
Uzunligi dan katta bo’lgan har bir oraliqda (2) tenglamaning ixtiyoriy yechimining 1 ta noli yetadi ,uzunligi dan katta bo’lgan ixtiyoriy intervalda esa 2 ta noli yotadi .
Ta’rif. Agar differentsial tengalamaning yechimi berilgan oraliqda 1 tadan ortiq nolga ega bo’lmasa ,bunday yechimga tebranmas yechim deyiladi .
Аgar bu бу yechim yetarli katta oraliqda 2 tadan ortiq nolga ega bo’lsa , bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi .
Ma’lumki har qanday Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani
ni (3)

kurinishga keltirish mumkin .

Shturm teoremasi.
Ma’lumki tengalama 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan

yechimlarga ega bo’lib ,bu yechimlardan birini ketma –ket 2 ta nollari orasida ikkinchi yechimning faqat bitta noli yotadi.
Shturm teoremasi. Ikkinchi tartibli bir jinsli
(3)
differentsial tengalamaning 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlarining nollari bir-birini o’zaro ajratadi.
Isbot.faraz etaylik va (3) tengalamaning 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlari bo’lsin va yechimning 2 ta ketma-ket noli х₀ vа х₁bo’lb, oraliqda
boshqa nolga ega bo’lmasin .Ya’ni
oraliqda faqat 1 ta nuqta mavjudkim, bu nuqtada bo’ladi .Teskarisiga faraz etaylik oraliqdagi nuqta uchun
bo’lsin,
Masalaning aniqligi uchun (x₀,x₁) dа y₂(x)>0 bo’lsin.
[x₀,x₁] oraliq oxirida y₂(x) nolga teng bo’lmaydi , ya’ni aks,holda
Vronskian
(4)
x₀ vа x₁ nuqtada nolga teng bo’lar edi .Buning bo’lishi mumkin emas ,chunki y₁(x) vа y₂(x) lar chiziqli bog’liq emas .
Demak Vronskiy determinanti bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi .Shuning uchun W(x)>0 deb olish mumkin [x₀,x₁] da.
(4) ning har ikkala tomonini ga bo’lamiz .