Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat unevirsiteti mexanika -matematika fakulteti

II-BOB. Matematik fizika tenglamalari uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechish.
1§.Dirixle masalasining Grin funksiyasi .

1. Dirixle masalasininmg Grin funksiyasi .

Laplas tenglamasi uchun chegarasi S sirtdan iborat bo’lgan biror D sohada Dirixle masalasininmg Grin funksiyasi deb, ikkita x , ξ € D U S nuqtalarning funksiyasi bo’lgan va quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G(x ,ξ ) funksiyaga aytiladi :

1. 
   G(x ,ξ ) ushbu ko’rinishga ega
   

G(x ,ξ ) = E(x ,ξ )+g (x ,ξ ) , (29)
bu yerda E(x ,ξ ) ----- Laplas tenglamasinig fundamental yechimi , g (x ,ξ ) esa , x € D bo’yicha ham , ξ € D bo’yicha ham garmonik funksiyadir ;

2. 
   x yoki ξ nuqta D sohaning S chegarasida yotganda
   

G(x ,ξ ) =0 (30)
Bu ta’rifga asosan G(x ,ξ ) funksiya ξ nuqtadan tashqari barcha D sohada garmonik funksiyadir .
Bu ta’rifdan yana shu narsa ko’rinadiki , G funksiya g (x ,ξ ) yordamida aniqlanadi , g (x ,ξ ) esa ,o’z navbatida D da garmonik bo’lib , S da yoki qiymatlarga teng .Bu yerda g (x ,ξ ) shunday garmonik funksiyaki , u chegarada maxsus qiymatlarni qabul qiladi .Ayrim hollarda bunday funksiyani topish ancha qulay bo’ldi .Bu ma’lum bo’lgandan so’ng chegarada ixtiyoriy qiymatni qabul qiluvchi garmonik funksiyani topish mumkin bo’ldi. Agar (12) yoki (13)

(12)

(13)

Formulada u(x) ni Dirixle masalasining yechimi deb hisoblab , E(x ,ξ ) o’rniga G(x ,ξ ) ni olsak ,u holda (12) formulani , hamda (29) va (30) ni e’tiborga olsak ,

(31)
formula hosil bo’ladi .
Agar Grin funksiyasi mavjud bo’lsa , (31) formula Dirixle masalasining yechimini beradi . (31) formula bilan ifodalangan u(x) funksiyaning garmonikligi G(x ,ξ ) ning x≠ξ da x ning garmonik funksiyasi ekanligidan kelib chiqadi .Bu funksiyaning

Chegaraviy shartni qanoatlantirishi alohida isbot talab qiladi.
Grin funksiyasining xossalari.

1) Barcha D sohada G(x ,ξ ) ≥0 . Haqiqatan ham , G(x ,ξ ) funksiyaning maxsus nuqtasi ξ ni markaz qilib yetarli kichik δ radiusli shar chizamiz , bu sharning chegarasi S_δ orqali , D-Q_δ ni esa D_δ orqali belgilab olamiz.

bo’lgani sababli yetarli kichik δ uchun sharda G(x ,ξ ) > 0 bo’ladi .
Demak , D_δ sohaning S+ S_δ chegarasida G(x ,ξ ) ≥0 .
Bundan ,ekstremum printsipiga asosan ,x€ D_δ nuqtalar uchun ham G(x ,ξ ) ≥0 bo’ladi .Bundan darhol barcha D U S da G(x ,ξ ) ≥0 ekanligi kelib chiqadi .
2) x€D nuqtalarda

Bu tenglik (31) formuladan barcha D da u(x)=1 bo’lganda darhol kelib chiqadi
3) G(x,ξ) Grin funksiyasi x va ξ nuqtalarga nisbatan simmetrik funksiyadir ,ya’ni
G(x,ξ)= G(ξ,x)
Bu xossani isbotlash uchun x, ξ € D nuqtalarni markaz qilib ,yetarli kichik ε radiusli sharlarni chizamiz Bu sharlarning chegarasini C va C¹ orqali belgilab olamiz .
desak , sohada G(y,x) , G(y,ξ) funksiyalar garmonik bo’ladi .
Bu holda (7) ga asosan ( 7) ushbu


Tenglik o’rinli bo’ladi . bo’lgani uchun
(32)

Tenglik hosil bo’ladi .Bundagi birinchi integralni J₁ orqali belgilab olamiz ,ya’ni

Bunda y€ C , bo’lgani sababli ,C da

tengsizliklar o’rinli bo’ladi .

ni e’tiborga olsak , C da r=ε bo’lgani uchun

Tengsizlikka ega bo’lamiz . Bunga asosan

(32) tenglikdagi ikkinchi integralni orqali belgilab olamiz , yani
.
n- sohaga nisbatan tashqi normal bo’lgani uchun . Shu sababli C da
.
Demak ,
Ravshanki ,

y=x+θε almashtirishni bajarsak ,y€ C bo’lganda , θ€ S₁ ­­­­ -birlik sfera bo’ladi .Shu sababli

Bunga asosan ,

Xuddi shunga o’xshash

Demak ,
G(x,ξ)= G(ξ,x) .