|
Silindrning hajmi.
1- teorema. Silindrning hajmi asosining yuzi bilan balandligi ko'"paytmasiga teng.
I s b o t i. Asosining yuzi S, balandligi H bo'lgan silindr berilgan bo'lsin (21.6-chizma). Silindrga
ichki va tashqi n burchakli muntazam prizmalar chizamiz. Prizmalar asoslarining yuzlarini, mos
ravishda,
va orqali belgilasak, bu prizmalarning hajmlari,
ko'rinishda
yoziladi. Ichki chizilgan prizma silindrning ichida, tashqi chizilgan prizma esa uning tashqarisida
yotganligidan, silindrning V hajmi uchun
tengsizlikni yozish mumkin.
Agar n cheksiz orttirilsa,
va
yuzlar silindr asosining
yuzidan yetarlicha kichik farq qiladi.
Demak, hosil qilingan qo'sh tengsizlikdagi uchta ifodaning barchasi
dan yetarlicha
kichik farq qiladi. Bu esa faqat
(6) bo'lgandagina mumkin. Teorema isbotlandi.
1 - n a t i j a . Silindr asosining radiusi R bo 'Isa,
bo 'ladi. Demak, silindrning hajmi
(7) formula bo'yicha hisoblanadi.
Pergalik Apolloniy (Ἀpōlínos ὁ Nesragaῖos, Perga, miloddan avvalgi 262 - miloddan avvalgi 190) - qadimgi yunon matematiki, uch kishidan biri (Evklid va Arximed bilan birga miloddan avvalgi III asrlarda) buyuk geometrda yashagan. e.
Apolloniy birinchi navbatda o'zining "Konusli bo'limlar" (8 kitob) monografiyasi bilan mashhur bo'ldi, unda u ellips, parabola va giperbolaning mazmunli umumiy nazariyasini berdi. Bu egri chiziqlar uchun umumiy qabul qilingan nomlarni taklif qilgan Apollonius edi; uning oldida ular oddiygina "konus bo'limlari" deb nomlangan. U boshqa matematik atamalarni kiritdi, ularning lotincha analoglari fanga abadiy kirib kelgan, xususan: asimptota, abscissa, ordinata, applikatsiya.
Apolloniyning fanga qilgan boshqa xizmatlari qatorida, u Evdoksning astronomik modelini qayta ko'rib chiqqanini, sayyoralarning notekis harakatini tushuntirish uchun epitsikllar va eksantriklarni kiritganini ta'kidlaymiz. Bu nazariya keyinchalik Giparx va Ptolemey tomonidan ishlab chiqilgan. Shuningdek, u berilgan uchta aylanaga ("Apolloniy doirasi") teginishli aylana qurish masalasiga yechim berdi, spiral chiziqlarni o'rgandi va geometrik optikani o'rgandi.
Oydagi krater Apolloniy nomi bilan atalgan.
Apolloniyning asosiy asarining to'rtta kitobi asl yunon tilida, uchtasi Sobit ibn Kurraning arabcha tarjimasida yetib kelgan, sakkizinchisi esa yo'qolgan. Edmond Halley ushbu asarning namunali nashrini tayyorladi (Oksford, 1710), u erda u VIII kitobni (VII kitobning so'zboshi asosida) qayta tiklashga urinishini kiritdi. Halleydan oldin ham xuddi shunday urinish Ibn al-Haysam tomonidan qilingan.
Apolloniyning o'tmishdoshlari Menechm, Samoslik Konon, shuningdek Evklid bo'lib, ularning "Konusli kesmalarning boshlanishi" asari bizgacha etib kelmagan. Evklid o'zining "Boshlanishlari" asarida konus kesimlari nazariyasini kiritmagan bo'lsa kerak, qadimgi matematiklar faqat to'g'ri chiziqlar va aylanalarni "mukammal chiziqlar" deb bilishgan.
Bundan tashqari, Apolloniy tenglama shakli mos yozuvlar tizimini tanlashga bog'liq emasligini qat'iy isbotlaydi; kabi, qoida tariqasida, egri chiziqning ixtiyoriy diametri va diametr uchlaridan biridagi tangens ta'sir qiladi, lekin Apolloniy boshqa qiya koordinata tizimlarini ham ko'rib chiqadi (masalan, giperbola uchun, bir juft asimptota).
Keyingi taqdimotda (II-IV kitoblar) o'rganilayotgan egri chiziq bilan bog'liq bo'lgan yagona nuqta va chiziqlarning xossalari aniqlangan: fokuslar, asimptotlar, qutblar va qutblar, ularning xossalari sanab o'tilgan, konus kesimlari endi kesishishi mumkin emasligi isbotlangan. 4 balldan ko'ra, bu egri chiziqlarga teginishlar qanday yasalishi tushuntiriladi, segmentlarning maydonlari aniqlanadi. Ishda 387 ta teorema mavjud.
VII (va, aftidan, VIII) kitobda konjugat diametrlar bo'yicha Apolloniyning mashhur teoremalari va nazariyaning geometrik masalalarga turli xil qo'llanilishi berilgan.
Apolloniyning nafaqat natijalari, balki u qo'llagan usullari ham katta qiziqish uyg'otadi. Ularda matematikaning keyingi yutuqlari - algebra, analitik, proyektiv geometriya va ba'zi joylarda differensial geometriyaning ko'plab sabablarini topish mumkin.
Apollonius matematik tahlilni bilmagan holda qanday qilib o'z kashfiyotlarini amalga oshirishga muvaffaq bo'lganligi noma'lum. Ehtimol, Arximed singari, u ham ma'lum bir cheksiz kichiklik usuliga ega bo'lib, u evristik maqsadlarda foydalangan va natijani qadimgi geometriyaning kanonik usullari bilan qayta isbotlash uchun ishlatgan. Van der Vaerden yozadi [1] :
Apollonius geometrik algebraning mohir ustasi, ammo o'zining asl fikrlash pog'onasini qanday yashirishni mohirlik bilan biladi. Shu sababli uning kitobini tushunish qiyin; uning mulohazalari nafis va tiniq, lekin uni boshqa hech kimga emas, aynan shunday fikr yuritishga nima sabab bo'lganini faqat taxmin qilish mumkin.
Kepler va Nyuton kashfiyotlaridan oldin Apollonius nazariyasi amalda asosan kub tenglamalarni yechishda, shuningdek, ko'zgu optikasida qo'llanilgan. Ikki jismli masalada moddiy zarrachaning orbitasi konus kesimlardan biri ekanligi aniqlangach, bu egri chiziqlarga qiziqish keskin ortdi va Apolloniyning ishlari yangi matematik bosqichda davom ettirildi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
