Algebraik ifoda. Algebraik

Piramidaning hajmi

 

5- teorema. Piramidaning hajmi asosining yuzi bilan balandligi ko'∙paytmasining uchdan biriga 

teng: 

 (10) 

bunda   S — piramida asosining yuzi, h — balandligi 

I s b o t i. Asosining yuzi S, balandligi SO = h bo'lgan biror SABC uchburchakli piramidani qaraymiz. 

Piramidaning SO balandligini n ta teng bo'lakka bo'lamiz va bo'linish nuqtalaridan piramida asosiga 

parallel tekisliklar o'tkazamiz. Bu tekisliklar piramidani n ta bo'lakka bo'ladi. Hosil bo'lgan 

bo'laklarning bar biriga ichki va tashqi prizmalarni (20.9- chizmada ko'rsatilganidek) yasaymiz. Ichki 

 

28 

chizilgan ko'pyoq  n — \ ta prizmadan, tashqi chizilgan ko'pyoq esa n ta prizmadan iborat bo'ladi. 

Prizma quyi asosining yuzi S ga, balandligi esa

 ga teng. Agar tashqi ko'pyoqning hajmi

 

bo'lsa, ichki ko'pyoqning hajmi 

ga teng bo'ladi. U holda piramidaning hajmi V uchun 

 (H) tengsizlikni yozish mumkin. 

 

Endi 

 ni S va h orqali ifodalashga o'tamiz. Faraz qilaylik, piramida parallel  kesimlarining 

yuzlari

 bo'lsin.Piramidadagi parallel kesimlarning xossasidan foydalanib (4-teoremaga q.) 

quyidagi 

 

tengliklarni yozamiz. Bundan 

 

va 

 

munosabatlarni olamiz. Natijada piramidaning hajmi uchun yozilgan (11) tengsizlik 

 

ko'rinishni oladi. n ning cheksiz ortishi bilan tengsizlikning chap va o'ng tomonidagi ifodalar bir-

biridan juda kam farq qiladi. Shuning uchun ular orasidagi

ifoda ham noldan juda kam farq 

qiladi. Demak, yetarli katta n lar uchun  

 

bo'ladi, ya'ni piramidaning hajmi uchun talab qilingan (10) formulaga ega bo'lamiz. Teorema 

isbotlandi. 

6 - teorema. Agar P va Q—tetraedr ikkita yog'ining yuzlari, a— bu yoqlar kesishadigan qirraning