Agar piramidada uning asosiga parallel kesim o'tkazilgan bo'Isa:
1) kesim piramidaning asosi va yon qirralarini proporsional qismlarga bo'ladi;
2) kesimda asosga o'xshash ko'pburchak hosil bo'ladi;
3) asos va kesim yuzlarining nisbati piramida uchidan ulargacha bo'lgan masofalar kvadratlari
nisbatlari kabidir.
I s b o t i. 1) Teoremaning shartiga ko'ra, o'zaro parallel
va AB...F (20.7- chizma)
tekisliklar piramidaning yon yoqlari bilan kesishadi va mos kesishish chiziqlari o'zaro paralleldir.
Bundan tashqari, piramidaning S uchidagi tekis burchak-larning tomonlari parallel to'g'ri chiziqlar
bilan kesilgan. Fales teoremasiga binoan,
burchaklar uchun,
mos ravishda,
munosabatlarni olamiz. Bulardan talab qilingan
munosabatlar kelib chiqadi.
2)
yoqdagi
kesmalarning o'zaro parallelligidan
) va, demak,
Endi BSC yoqdagi
va BC kesmalarning ham o'zaro parallelligidan
va, demak,
Olingan ikkita proporsiyani taqqoslab,
munosabatni olamiz. Yuqoridagiga o'xshash tahlil o'tkazib,
bo'lishini ko'rsatish mumkin. Bu jarayonni davom ettirib, piramidaning kesimi va asosi tomonlari
o'zaro proporsionalligini olamiz:
Kesim va asosning tomonJari parallelligidan, A
}
B
l
...E
]
va AB...E ko'pburchaklarning mos
burchaklari o'zaro teng bo'ladi:
Ko'pburchaklarnmg o'xshashligi ta'rifidan
bo'ladi.
27
3) Ma'lumki, o'xshash ko'pburchaklar yuzlarining nisbati ularning mos tomonlari kvadratlari nisbati
kabidir. Shuning uchun
(6)
Faraz qilaylik, O va
lar piramida OS balandligining mos ravishda, asos va kesim bilan kesishish
nuqtalari bo'lsin. Ikkita o'xshash uchburchaklar juftlarini,
larni
qaraymiz. Uchburchaklarning o'xshashligidan,
kelib chiqadi, bundan
bo'ladi. U vaqtda piramidaning kesimi va asosi uchun
(7)
ya'ni talab qilingan ifodani olamiz. Teorema isbotlandi.
Faraz qilaylik, ixtiyoriy piramidaning yon yoqlari asos tekisligi bilan o'zaro teng φ burchak hosil
qilsin. Piramida asosidagi ikki yoqli burchakning chiziqli burchagini yasash uchun piramidaning S
uchidan
kesma va piramidaning SO balandligini o'tkazamiz (20.8- chizma). Uch
perpendikular haqi-dagi teoremaga ko'ra,
va ikki yoqli burchakning chiziqli
burchagi
bo'ladi. Piramida yon yoqlaπning asos tekisligiga proyeksiyalarini yasaymiz.
SCD yon yoqning proyeksiyasi
dan iborat
cos
yon
asos
S
S
bo'ladi. Qolgan proyeksiyalarni ham shunga o'xshash yasaymiz. Yon yoqlarning proyeksiyalari
piramidaning asosini ustma-ust tushmasdan va egilmasdan to'ldiradi. Shu sababli, shakl ortogonal
proyeksiyasining yuzi haqidagi teoremani qo'llash mumkin:
(8)
Shunday qilib, agar piramidaning asosi va asosdagi ikki yoqli burchagi ma'lum bo'lsa, uning yon
sirtining yuzi
(9)
formula bo'yicha hisoblanar ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: |