Algebra va sonlar nazariyasi

Shunday qilib, Yevklid fazosida xar qanday A(x, y) bichiziqli formaga
A(x, y) = (Ax, y)
shartni qanoatlantiruvchi A chiziqli almashtirish to‘g‘ri keladi, va aksincha xar qanday A chiziqli almashtirishga A(x, y) bichiziqli forma mos keladi.
Haqiqatdan ham, A(x, y) = (Ax, y) kabi aniqlangan funksiya bichiziqli formaning shartlarini qanoatlantiradi.
A( xj + x2, y) = (A( xj + x2), y) = ( Axj + Ax2, y) =
= ( Axj , y) + (Ax2, y) = A( xj , y) + A( x2, y),
A(Ax, y) = (A(Ax), y) = (A Ax, y) = A( Ax, y) = AA( x, y),
A(x, yj + y2) = (Ax, yj + y2) = (Ax, у ) + (Ax, y2) = A( x, у ) + A(x, y2), A(x, цу) = (Ax, цу) = p( Ax, y) = pA( x, y).
Endi A chiziqli almashtirishga A(x, y) bichiziqli formani mos qo‘yish o‘zaro bir qiymatli moslik ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik,
A( x, y) = (Ax, y) va A( x, y) = (Bx, y) bo‘lsin. U holda ixtiyoriy y vektor uchun
(Ax - Bx, y) = 0
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ammo bu, Ax - Bx = 0 ekanligini bildiradi, demak, Ax = Bx. Qaralayotgan x vektorning ixtiyoriyligidan A = B kelib chiqadi.
Xulosa sifatida ushbu teoremani keltiramiz.


203

1. 
   teorema. Yevklid fazosida bichiziqli formalar bilan chiziqli almashtirishlar orasida aniqlangan
   

A(x, y) = (Ax, y) ko‘rinishida moslik bir qiymatli moslik bo‘ladi.
Bichiziqli formalar bilan chiziqli almashtirishlar orasida boshqa usul bilan ham moslik o‘rnatish mumkin. Masalan, A(x, y) = (x, A*y) ko‘rinishidagi moslik o‘rnatamiz. Buning uchun A(x,y) bichiziqli formaning berilgan bazisdagi ko‘rinishini quyidagicha ifodalaymiz:
^A(x y⁾ = ^A(^1^e1 + ^2^e2 + ••• + £n^en ^{, y}1^e1 + ^y2^e2 + ••• + ^yn^en ⁾ =
= ^а1,^£1^У1 + «1,2^2 + ••• + ^ащ,^£1^Уп +
+^а2,1^£2^У1 + ^а2,2^£2^У2 + ••• + ^а2АУ +
+ +
+^ап£п^У1 + ^ап,2^£п^У2 + ••• + ^апЛ^У_П •
Endi yuqoridagidan farqli ravishda, bu ifodani £, £, •„, £
o‘zgaruvchilar bo‘yicha yig‘ib ixchamlasak, berilgan ifoda
^A(X, у ⁾ = ^£1 ^(а1,1^У1 + ^а1,2^У2 + ••• + ^а1Л ⁾ +
+^£1 ^(а2,1^У1 + ^а2,2^У2 + ••• + ^а2,п^Уп ⁾ +
+ +
+^£п ^(ап,1^У1 + ^ап,2^У2 + ••• + «пУп ⁾ =
= ^£1^(а1Д^У1 + ^а1,2^У2 + ••• + ^а1,п^Уп ⁾ +
+^£2 ^(а2,1^У1 + ^а2,2^У2 + ••• + ^а2,п^Уп ⁾ +
+ +
+£ (а у + а у + ••• + а у )
~п^ п,1 1 п,2 2 п,п п'
ko‘rinishga keladi.
Endi y = у e + у2 ^е2 + ••• + У e vektorga
^Z = ^(а1,1^У1 + ^а1,2^У2 + ••• + ^а1,п^Уп ^)е1 + ^(а2,1^У1 + ^а2,2^У2 + ••• + «2,п^Уп ^)е2 +
+••• + (а у + а у + ••• + а у )е
v п,1 1 п,2 2 п,п п/ п
vektorni mos qo‘yuvchi A*: V ^ V chiziqli almashtirishni qaraymiz. Aa almashtirishning matritsasi A almashtirish matritsasini transpo- nirlab, xar bir elementining qo‘shmasini olish natijasida hosil bo‘ladi. Ya’ni,

	' ^ai,i	^ai,2 ^.	. a ^ 1,n		' ^ai,i	^a2,1 .	. a , ^ n,1
A =	^a2,1	^a2,2 ^.	. a 2,n	bo‘lsa, A* =	«1,2	^a2,2 .	. a 0 n,2
	, ^an,1	^an,2 ^.	. a n,n J		v ^a1,n	^a2,n .	. a n,n J

Shuni ta’kidlab o‘tish joizki, ortogonal bo‘lmagan bazisda berilgan A va A* almashtirishlarning matritsalari orasidagi munosabat ancha murakkab bo‘ladi.

2. 
   t_a’_rif. Kompleks Yevklid fazosida berilgan A chiziqli almashtirishning qo‘shmasi deb,
   

(Ax, y) = (x, A*y), shartni qanoatlantiruvchi A* almashtirishga aytiladi.

3. 
   teorema. Yevklid fazosida xar qanday chiziqli almashtirishning yagona qo‘shma almashtirishi mavjud.
   

Isbot. 30.1-teoremaga ko‘ra xar qanday chiziqli A chiziqli almashtirish A( x, y) = (Ax, y) shartni qanoatlantiruvchi bichiziqli formaga mos kelib, bu moslik bir qiymatlidir. Ikkinchi tomondan esa, A(x,y) bichiziqli formani A(x, y) = (x,A*y) ko‘rinishida ham ifoda- lash mumkin. Bundan esa,