Algebra va sonlar nazariyasi

Mazkur qism fazoning o‘lchami A almashtirishning rangi deyiladi.

9. 
   ta’rif. A almashtirishning yadrosi deb Ax = 0 bo‘ladigan vektorlar jamlanmasiga aytiladi va Ker( A) kabi belgilanadi, ya’ni
   

Ker( A) = {x eV | Ax = 0} .

10. 
    tasdiq. Ixtiyoriy chiziqli almashtirishning yadrosi qism fazo tashkil qiladi.
    

Isbot. Haqiqatdan ham, Ax = 0 va Ax₂ = 0 bo‘lsa, u holda
A( x + x) = Ax + Ax₂ = 0.

Xuddi shunga o‘xshab, agar Ax = 0 bo‘lsa, AAx = AAx = 0, ya’ni Ker( A) qism fazo. □

Agarda A xosmas almashtirish bo‘lsa, uning yadrosi faqat noldan iborat bo‘ladi.
Misol 28.3. V fazo darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosi bo‘lsin. A almashtirish esa differensiallash bo‘lsin. Ya’ni
AP( x) = P ' (x).
Bu alamshtirishning yadrosi konstantalardan, obrazi esa, darajasi n -1 dan oshmaydigan ko‘phadlardan iborat bo‘ladi. Ularning o‘lchamlari esa, mos ravishda birga va n ga teng.

10. 
    tasdiq. n o‘ lchamli V chiziqli fazodagi ixtiyoriy A almashtirishning obrazi va yadrosi o‘lchamlari yig‘indisi butun fazo o‘lchamiga teng, ya’ni dim(Im(A)) + dim(Ker(A)) = n.
    

Isbot. Aytaylik, A almashtirish yadrosining o‘lchami k ga teng bo‘lsin. U holda Ker(A) da e, e₂, •••, e bazis tanlab, uni butun fazo­dagi e, e, •••, e, e₊₁, •••, e bazisgacha to‘ldiramiz.
Ae_t+1, •••, Ae_n vektorlarni qaraylik. Bu vektorlar almashtirishning obraziga tegishli bo‘lib, ular Im( A) da bazis tashkil qiladi.
Darhaqiqat, ixtiyoriy y e Im(A) vektor berilgan bo‘lsa, ta’rifga ko‘ra shunday x vektor mavjudki, y = Ax. e, e₂, •••, e vektorlar V da bazis bo‘lganligi sababli x = ye₁ + y₂e₂ + ••• + y_ne_n. Lekin, Ae- = ••• = Ae_k = 0 ^bo‘^lga^{ni uchun} y = Ax = y_k+lAe_k+l + ••• + ynAen. Ya’ni ixtiyoriy y e Im(A) vektor Ae_n vektorlar orqali
chiziqli ifodalanadi.
Endi n - k ta Ae^^, Ae_n vektorlarning chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, ular chiziqli bog‘liq bo‘lsin. U holda hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan aj sonlar
topilib,
^ai ^Aek₊1 + ••• +^an-k^Aen = ⁰
bo‘ladi.


193

x = a_xe_k+x +...^{+ а}_и- A vektorni qaraylik. U holda

^Ax = ^A(ai^e_k+i +... + a_n__k^e_n ) = ai^Ae_k+i +... + a„__t^Ae„ = ⁰
x e Ker(A) kelib chiqadi. Bu esa ziddiyat, chunki bir tomondan x
yadroning elementi sifatida e , e , ... , e bazis vektorlarning chiziqli
kombinatsiyasi, ikkinchi tomondan esa, e_t+j,..., e_n vektorlarning
chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lib qoldi. Bu esa, x vektorning
bazis vektorlar yordamida berilishiga zid. Bundan esa, Ae_t+1,..., Ae_n
vektorlar chiziqli erkli ekanligi kelib chiqadi.
Demak, Im(A) = n - k, ya’ni chiziqli almashtirish obrazining
fazo o‘lchami butun fazo o‘lchami bilan chiziqli fazo yadrosi o‘lchami
ayirmasiga teng. □
Turli bazislarda chiziqli almashtirish matritsalari orasidagi
bog‘lanish. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, chiziqli almashtirishning
matritsasi berilgan chiziqli fazoning bazisiga bog‘liq, ya’ni turli
bazislarda chiziqli almashtirish turli matritsalarga ega bo‘ladi. Endi bir
bazisdan boshqa bazisga o‘tganda A chiziqli almashtirishning
matritsasi qanday o‘zgarishini keltiramiz.

• 
  chiziqli fazoda ikkita e, e₂, . ., e va f, f₂,..., f_n bazislar
  berilgan bo‘lsin. e, e,-., e bazisdan f, f,..., f_n bazisga o‘tish
  matritsasini (c_{i j}) bilan belgilaymiz, ya’ni
  

f = a,e + c_n,en +... + c e ,
J1 1,1 1 2,1 2 n,1 n’
f = c -e + c ‘->e +...+c _ne ,
J 2 1,2 1 2,2 2 n,2 n’ /Л О 1\
⁽²⁸¹⁾
f = c e + ^ e +... + c e .
n 1,n 1 2,n 2 n,n n
A chiziqli almashtirishning e, e₂,..., e bazisdagi matritsasini
A = (a _i), f, f₂,..., f bazisdagi matritsasini esa B = (b_{i j}) orqali
ganda
n
^Aek =Z ^ai,k^e_f^{, (28}.²⁾
i=1


l,j /? У1? ./2? У n ^ wuw у i ,j
belgilaymiz. Boshqacha aytganda

n

Afk =Z bf. (28.3)
i=1
Bizning maqsadimiz (b_{i j}) matritsani (a_i j) va (c_{i j}) matritsalar
orqali ifodalashdan iboratdir.

1. 
   teorema. Agar biror chiziqli almashtirishning e, e,—, e va f, f₂,..., f_n bazislardagi matritsalari mos ravishda A va B b₀‘lib, birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o‘tish matritsasi C ga teng bo‘lsa,
   

B = C-¹AC
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, berilgan A chiziqli almashtirish va e, e,—, e„ hamda f, f₂,..., f bazislar uchun yuqoridagi (28.1), (28.2) va (28.3) shartlar o‘rinli bo‘lsin.