Алгебра ва сонлар назарияси

Ta’rif. Agar A(x,y) funksiya kompleks son bo`lib bu funksiya uchun shart bajarilsa, u holda bunday A(x,y) bichiziqli shakl(forma) Ermit shakli deyiladi.

Ta’rif. simetrik bichiziqli shakl(forma) bo`lsin. deb faraz qilganda da hosil bo`ladigan funksiya kvadratik shakl(forma) deyiladi.
funksiya kvadratik shakl(forma)si bilan bir qiymatli aniqlanadi. Har qanday kvadratik shakl(forma) berilgan bazisda

Formula bilan ifoda etiladi, bunda . Yana bir muhim ta’rif kiritamiz.
Ta’rif. Agar har qanday vektor uchun >0 bo`lsa, kvadratik shakl(forma) musbat aniqlangan kvadrat shakl(forma) deyiladi.
Misol. musbat kvadratik shakl(forma) ekanligi ravshan.
Teorema. fazoda (I) bazis mavjud bo`lib, kvadratik shakl(forma)ni bu (I) bazisda
Ko`rinishga keltirish mumkin. Bu yerda Isbot. Biror bazisda tenglik o`rinli bo`lsin. lar vektorning bu bazisdagi koordinatalri. Bazisni (*) formulada turli indeksli koordinatalarinng ko`paytmalari yo`qolib boradigan qilib, asta-sekin almashtira boramiz. Bazisning har bir almashtirishiga ma’lum bazis almashtirishlari to`g’ri kelgani uchun, biz koordinatalarini formulalarini yoza olamiz.
shakl(forma)ni kvadratlar yig’indisiga keltirish uchun, bizga koeffitsentlardan ( ning koeffitsenti) kamida bittasi noldan farqli bo`lishi kerak bo`ladi. Bunga hamma vaqt erishish mumkin. Haqiqatan ham, nolga aynan teng bo`lmagan shakl(forma)da o`zgaruvchining birorta ham kvadrati bo`lmasin, deb faraz qilaylik. U holda kamida bitta ko`paytma, masalan bo`ladi. va koordinatalari

formulaga asosan almashtiramiz, boshqa o`zgaruvchilarni o`zgartmay qoldiramiz. Bunday alsmashtirishda hadning ko`rinshi bo`lib qoladi va farazga muvofiq

bo`lgani uchun bu hech qanday had bilan birika olmaydi, ya’ni ning koeffitsenti noldan farqli.
Endi (*) formuladan koeffitsenti noldan farqli deb olamiz. Bizning kvadratik shakl(forma)mizdan qatnashgan hadlarni ajratib yozamiz.

bu yig’indini to`la kvadratgacha to`ldiramiz, ya’ni uni
(**)
ko`rinishda yozamiz. bilan biz faqat hadlar kvadratlarini va ularning har qaysi ikkitasining ko`paytmalarini o`z ichiga olgan hadlarni belgiladik. (**) ifodani (*) ga qo`ygandan so`ng qaralayotgan kvadratik shakl(forma)
ko`rinishni oladi. Bunda yozilmagan hadlarga o`zgaruvchilargina kiradi.

Faraz etaylik :

U holda kvadratik shakl(forma)

ko`rinishni oladi.

ifoda (*) formulaning o`ng tomoniga juda o`xshash bo`lib, bunda birinchi koordinata o`q yo`q koeffitsientini noldan farqli deb faraz etib (biz yuqorida ko`rdikki, sodda yordamchi almashtirish bilan hamma vaqt bu koeffitsientni nolga tenglashtirish mumkin) biz o`zgaruvchilarni birinchiga o`xshash

formulalarga muvofiq yangidan almashtirishimiz mumkin, bunday almashtirishdan so`ng shakl(forma)

ko`rinishni oladi. Bu protsessni davom ettirib, o`zgaruvchilarni bir qancha o`zgartirgandan keyin o`zgaruvchilarga kelamiz; shakl(forma) bu o`zgaruvchilar orqali quydagicha ifodalanadi.

bunda
kvadratik shakl(forma)ni kvadratlar yig’indisiga keltirishda, o`zida bu kvadratik shakl(forma) kvadratlar yig’indisiga aylanadigan, ya’ni bu shakl(forma)

ko`rinishga keladigan bazisni turlicha tanlab olish mumkin. Biz kvadratik shakl(forma)ning inersiya qonuni deb ataluvchi teoremani keltiramiz.