Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Теорема-1. ўлчамли евклид фазосидаги ихтиёрий симметрик оператор учун хос векторларидан ташкил топган ортонормалланган базис мавжуд. Бу базисда берилган операторнинг матрицаси диагонал кўринишда бўлади.
Таъриф-3. Агар симметрик оператор учун ихтиёрий ларда тенгсизлик бажарилса, оператор мусбат аниқланган дейилади.
Лемма-4. Симметрик оператор мусбат аниқланган бўлиши учун унинг барча хос қийматлари мусбат бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Олдинги теоремага асосан симметрик операторнинг хос векторларидан ташкил топган ортонормалланган базис мавжуд, яъни , шунинг учун
.
Лемма исботланди.
Лемма-5. ўлчамли евклид фазосидаги ихтиёрий махсусмас оператор учун оператор симметрик ва мусбат аниқланган бўлади.
Исбот. Олдин симметриглигини текширамиз:

Симметриклиги кўрсатилди. Мусбат аниқланганлигини кўрсатамиз:
, чунки агар бўлса, .
Лемма исботланди.
Лемма-6. Ихтиёрий мусбат аниқланган симметрик оператор учун симметрик мусбат аниқланган оператор топилиб, тенглик бажарилади.
Исбот. 1-теоремага ва 4-леммага асосан симметрик операторнинг хос векторларидан ташкил топган ортонормалланган базис мавжуд. Ушбу базисда операторнинг матрицаси қуйдагича бўлади:


.
Қуйидаги матрицани қараймиз:
.
Матрицаси қаралаётган базисда га тенг бўладиган оператор биз излаётган оператор бўлади. Лемма исботланди.
Таъриф-3. Агар ихтиёрий учун тенглик бажарилса, оператор ортогонал дейилади.
Теорема-2. (Қутб ёйилма хақида) ўлчамли евклид фазосидаги ихтиёрий махсусмас оператор учун ортогонал ва симметрик операторлар топилиб, улар учун тенглик бажарилади.