Algebra tushunchasi

Halqa va uning ta’rifi.

Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda ikkita binar algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin. Aniqlik uchun binar algebraik operatsiyalar uchun «qo‘shish» va «ko‘paytirish» amallarini qabul qilaylik.

4-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish binar algebraik operatsiyalari berilgan bo‘lib, ular quyidagi xossalarga bo‘ysunsalar, A to‘plam va amallari bilan berilgan ‹A, +,·› algebra yarim halqa deyiladi:

a)  a,b,cA uchun (a+b)+c=a+(b+c), ya’ni assotsiativlik xossasi;

b)  a,b,cA uchun a+b=b+a, ya’ni kommutativlik xossasi;

d)  a,b,xA uchun

a+x=b+xa=b

x+a=x+ba=b;

ya’ni qisqaruvchanlik xossasi;

e)  a,b,cA uchun (a·b)·c=a·(b·c) ko‘paytirish amali assotsiativlik xossasiga bo‘ysinsa;

f)  a,b,cA uchun (a+b)·c=a·c+b·c yoki c·(a+b)=c·a+c·b ko‘paytirish amali qoshish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga ega bo‘lsa.

Agar ‹A,+,·› yarim halqa bo‘lib, ko‘paytirish amali kommutativ bo‘lsa, bunday yarim halqa yarim kommutativ halqa deyiladi.

5-ta’rif. Agar ‹A,+,·› algebra qo‘shish amaliga nisbatan Abel gruppa va ko‘paytirish amali qo‘shish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga bo‘ysunsa, ‹A,+,·› algebraga halqa deyiladi.

Demak, ‹A,*,º› halqa bo‘lishi uchun, A to‘plamda * algebraik operatsiya assotsiativ va kommutativ bo‘lishi, * algebraik operatsiyaga nisbatan neytral va simmetrik elementlari mavjud bo‘lishi hamda ◦ algebraik operatsiya * algebraik operatsiyaga nisbatan distributiv bo‘lishi kerak.

Agar  aA uchun a+0=a va 0+a=a munosabat o‘rinli bo‘lsa, 0A element A to‘plamning nol elementi, agar  aA uchun eA mavjud bo‘lib, a·e=e·a=a munosabat bajarilsa, e elementga A to‘plamning birlik elementi deyiladi.

Misol. N={1,2,3,…,n,…} natural sonlar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallari vositasida tashkil qilingan ‹N,+,·› algebra yarim halqadir. Haqiqatan ham,

1) 4,6,7N 4+(6+7)=(4+6)+7

2) 4+7=7+4

3) 5+12=5+(5+7)12=5+7

4) 5·(6·7)=(5·6)·7

5) 6·(7+4)=6·7+6·4

6·7+6·4=42+24=66

Demak, ‹N,+,·› algebra yarim halqadir.

Agar A to‘plamda berilgan ko‘paytirish amali uchun kommutativlik xossasi o‘rinli bo‘lsa, ‹A,+,·› kommutativ halqa, agar ko‘paytirish amali uchun assotsiativlik xossasi o‘rinli bo‘lsa, ‹A,+,·› assotsiativ halqa, agar ko‘paytirish amaliga nisbatan a·e=e·a=a shartni bajaruvchi neytral element mavjud bo‘lsa, ‹A,+,·› birlik elementli halqa (chunki a·1=1·a=a,e=1) deb yuritiladi.

Agar ‹A,*,º› halqani tashkil qilayotgan A to‘plam elementlari sonlardan iborat bo‘lsa, ‹A,*,º› halqa sonli halqa deb yuritiladi. Endi ko‘rib chiqilgan halqa va uning xossalaridan foydalanib maydon tushunchasini kiritamiz.