Aksiomalari

2- ta’rif. Birining sharti va xulosasi ikkinchisining sharti va xulosasi uchun mos ravishda inkorlari bo‘lgan juft teoremalar o‘zaro qarama-qarshi teoremalar deb ataladi.
Masalan, (1) va (3) teoremalar hamda (2) va (4) teoremalar o‘zaro qarama-qarshi teoremalardir.
4- misol. «Agar to‘rtburchakning diagonallari teng bo‘lsa, u holda bu to‘rtburchak to‘g‘ri burchakli bo‘ladi» degan (1) teoremaga «Agar to‘rtburchak to‘g‘ri burchakli bo‘lsa, u holda uning diagonallari teng bo‘ladi» degan (2) teorema teskari teorema bo‘ladi. (1) teoremaga qarama-qarshi teorema «Agar to‘rtburchakning diagonallari teng bo‘lmasa, u holda u to‘g‘ri burchakli bo‘lmaydi» degan (3) teorema va (2) teoremaga qarama-qarshi teorema «Agar to‘rtburchak to‘g‘ri burchakli bo‘lmasa, u holda uning diagonallari teng bo‘lmaydi» (4) teorema bo‘ladi. ■
4- misoldagi (1) va (4) teoremalar bir vaqtda chin bo‘ladi. (1) teorema uchun kontrmisol sifatida teng yonli trapesiyani keltirish mumkin.
Ravshanki, to‘g‘ri va teskari teoremalar, umuman olganda, teng kuchli bo‘lmaydilar, ya’ni biri chin, ikkinchisi yolg‘on bo‘lishi mumkin. Ammo, (1) va (4) teoremalar hamda (2) va (3) teoremalarning teng kuchli formulalar ekanligini osongina isbotlash mumkin. Haqiqatan ham,

.
Xuddi shunday
.
Bu teng kuchliliklardan quyidagi xulosaga kelamiz: agar (1) teorema isbot qilingan bo‘lsa, u holda (4) teorema ham isbot qilingan bo‘ladi va agar (2) teorema isbot qilingan bo‘lsa, u holda (3) teorema ham isbotlangan hisoblanadi.
Yetarli va zaruriy shartlar.
Quyidagi teoremani ko‘raylik
. (5)
predikatning chinlik to‘plami to‘plamdan iborat bo‘ladi. Demak, bu predikatning yolg‘onlik to‘plami to‘plamdan iborat. Oxirgi to‘plam faqat bo‘lgandagina bo‘sh to‘plam bo‘ladi.
Shunday qilib, predikat ning hamma qiymatlarida
predikatning chinlik to‘plami predikat chinlik to‘plamining qism to‘plami, ya’ni bo‘lganda va faqat shundagina chin bo‘ladi. Bu holda predikat predikatdan mantiqiy kelib chiqadi deb aytiladi. predikat predikat uchun zaruriy shart va esa uchun yetarli shart deb ataladi. Masalan, ushbu «Agar natural son bo‘lsa, u holda butun son bo‘ladi» teoremada : « – butun son» predikati : « – natural son» predikatidan mantiqiy kelib chiqadi va « – natural son» predikati « – butun son» predikati uchun yetarli shart bo‘ladi.
Shunday hollar mavjudki, bularda
(6)
va
(7)
o‘zaro teskari teoremalar chin bo‘ladi. Bu hol faqat , ya’ni va predikatlar teng kuchli predikatlar bo‘lgandagina o‘rinlidir.
Qaralayotgan holda (1) teoremaga asosan predikat predikat uchun yetarli shart va (2) teoremadan predikat predikat uchun zaruriy shart ekanligi kelib chiqadi. Demak, agar (1) va (2) teoremalar chin bo‘lsa, u holda shart uchun ham yetarli, ham zaruriy shart bo‘ladi. Xuddi shu kabi bu holatda shart uchun yetarli va zaruriy shart bo‘ladi. Biz ayrim vaqtlarda «zarur va yetarli» mantiqiy bog‘lovchilar o‘rnida «shunda va faqat shunda» mantiqiy bog‘lovchilarini ishlatamiz. Bu yerda (1) va (2) mulohazalar chin bo‘lganligi uchun quyidagi mulohaza ham chin bo‘ladi:
.