Agarbiz o’zbekistonimizni dunyoga tarannum etmoqchi, uning qadimiy tarixi va yorug; kelajagini ulug’lamoqchi, uni avlodlar xotirasida boqiy saqlamoqchi bo’lsak, avalombor buyuk yozuvchilarni, buyuk shoirlarni

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ 
МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТОВ 
 
УРАЗОВА З., ТГПУ. 

В основе обучения счёту и формирования представлений о множестве натуральных чисел лежат две 

теории – количественная и порядковая. Количественная теория числа предполагает, что понятие 
эквивалентности множеств и установление взаимно однозначного соответствия между множествами 
предшествует счёту. Порядковая теория, наоборот, считает, что установлению эквивалентности множеств 
предшествует счёт. Сама эта эквивалентность устанавливается между множеством и отрезком натурального 
ряда. Если отрезки натурального ряда совпадают, то соответствующие множества эквивалентны. Как видим, и 
та, и другая теории рассматривают понятие числа в неразрывной связи с понятием множества. 
Порядковая теория натуральных чисел в педвузе обычно связывается с именем Дж. Пеано. Раскрывая 
суть отношения «непосредственно следовать за» и предлагая рекурсивные определения арифметических 
действий в системе аксиом, учёный строит теорию, в соответствии с которой можно получить натуральный ряд 
чисел, начиная с его первого элемента. 
Вот, например, как можно объяснить возникновение натурального ряда. В множестве 
последовательных элементов есть первый. Скажем, что ему соответствует число ОДИН и, запишем это число 
цифрой 1. 
Затем к числу 1 добавим (присчитаем) ещё число 1, в соответствии с пятой аксиомой Пеано, мы 
получаем 1+1=1’, т.е. непосредственно следующее за единицей число. Назовём его ДВА и запишем цифрой 2. 
Затем 2+1 = 2’, непосредственно следующее за двойкой число назовём ТРИ и запишем цифрой 3. 
Продолжая называть непосредственно следующие числа и записывать их цифрами, мы дойдём до числа 
ДЕСЯТЬ, которое запишем с помощью двух цифр – 10. Аналогично получаем натуральные числа в пределах 
100, 1000 и т.д. 
Аксиомы Пеано, положенные в основу знакомств с натуральным рядом, помогают осознать, что: 1) 
каждое новое число получается добавлением единицы; 2) при счёте нельзя пропустить никакой предмет; 3) 
никакой предмет нельзя сосчитать дважды. Устанавливая взаимно однозначное соответствие между 
множеством предметов и отрезком натурального ряда, мы определяем последнее при счёте число как число 
элементов данного множества. Так осуществляется переход от порядкового числа к количественному. 
Количественная теория числа предполагает, что понятие эквивалентности множеств и установление 
взаимно однозначного соответствия между множествами предшествует счёту. В начале устанавливается 
равночисленность множеств, а затем подсчитывается число их элементов. 
Обводит пунктирный образ написания цифры; записывает цифры по образцу в прописях или школьной 
тетради. В течение четырёх лет начальной школы две строчки цифр в тетради – ежедневная норма ученика. 
311 

---

Ребёнок-дошкольник изучает числа и цифры от 1 до 9. Чтобы записать число 10, требуется цифра 0. Именно 
поэтому число нуль, изучается в школе перед числом 10. На наш взгляд, с числом нуль можно познакомить 
детей ещё в детском саду. 
С теоретико-множественной позиции число «нуль» - это число элементов пустого множества. Детям 
очень нравится нуль как само понятие и как знак числа. Заметим, что нулём мы называем число, а 
соответствующую ему цифру математик называет «ноль». В процессе изучения математики эти слова 
замещают друг друга. Однако тонкий математический слух всё-таки их различает. 
Достоинством количественной теории числа является обоснование арифметических действий. 
Операция сложения в объединении двух непересекающихся множеств осуществляется путём пересчёта 
элементов объединения или путём присчитывания к числу элементов одного множества элементов другого. 
Методика детского сада обеспечивает постепенный переход к оперированию абстракциями. Вначале при 
усвоении смысла сложения употребляем слово «прибавить», которое ребёнок воспринимает как увеличение 
численности предметов. В условии задачи на смысл действия сложения употребляем глаголы, выражающие 
увеличение: приехали, подошли, подарили, дали. В задачах-картинках при этом чётко виден момент 
увеличения численности за счёт изображения движения. Со знаком + (плюс) дошкольник знакомится после 
того, как усвоит цифры. 
Решая примеры на сложение, ребёнок должен уметь прочитать числовое равенство. Как прочитать, 
например, запись 3 + 2 = 5? Маленький ребёнок говорит: три да два будет пять. К 3 прибавить 2 будет 5. 
Ученик скажет: 3 плюс 2 равно 5; сумма чисел 3 и 2 равна 5; значение суммы 3 и 2 равно 5. 
Дошкольникам нравятся задачи на действия с нулём. В наших книгах мы предлагаем правило: от 
прибавления нуля число не меняется. Дети любят это правило. Им нравится сама ситуация договорённости. 
Договорились соблюдать правило. 
На наглядной основе изучается таблица сложения. Примеры в таблице распределяются на несколько 
занятий. Чтобы помочь малышу, используем пальчиковый счёт, работаем с кубиками или мелкими предметами. 
Используем обхват пальцев другой рукой.
Математика рассматривает законы сложения, которыми удобно пользоваться для рационализации 
вычислений. 
1. 
Переместительный (коммутативный) закон сложения
a + b = b + a 
связан с тем, что A U B = B U A. 
2. 
Сочетательный (ассоциативный) закон сложения 
(a + b) + c = a + (b + c) 
связан с тем, что (A U B) U C = A U (B U C). 
В начальной школе изучается переместительный закон сложения, а сочетательный – только в неявном 
виде. Школьники изучают два правила: прибавление числа к сумме и суммы к числу. 
Разность чисел связана с операцией вычитания из множеств «А» его подмножества «В» и равна числу 
элементов в дополнении «В» до основного множества «А». Методика детского сада объясняет, что в действии 
вычитания мы из большего числа вычитаем меньшее и получается остаток. Ребёнок осваивает сложение и 
вычитание в пределах 10. В школе он продолжает изучать арифметику по концентрам и параллельно осваивает 
законы и правила арифметических действий. Начиная со второго класса, школьник изучает умножение и 
деление. 
Методика детского сада обеспечивает постепенный переход к абстракциям. Вначале при освоении 
смысла вычитания употребляем слово отнять, которое дети на житейском уровне воспринимают как 
уменьшение численности предметов. В задачах-картинках на смысл действия вычитания чётко виден момент 
уменьшения численности за счёт изображения движения: птички улетают, яблоки падают, лодки отплывают... 
Круговое движение руки выделяет основное множество, затем его часть, которая удаляется. И, наконец, то 
множество, которое остаётся. Теперь надо только пересчитать его элементы. 
Во многих пособиях последних лет мы видим картинку к задаче, где знак минус стоит между 
нарисованными предметами. Заметим, из двух групп нельзя вычесть какую-то третью, из самоваров нельзя 
вычесть чайники (можно из множества предметов вычесть часть этих предметов). Единственным письменным 
опорным сигналом для вычисления является запись примера в цифрах. А плохая наглядность подобных картин 
является мощным средством формирования искажённого знания. 
Операция вычитания не обладает ни переместительным, ни сочетательным свойствами, т.е. не 
коммутативна и не ассоциативна. Но правила, связанные с операцией вычитания, есть, и школьники их 
изучают. 
. 
Правило вычитания числа из суммы (a + b) – с = (a – c) + b =
= a + (b – c
). Чтобы вычесть число из суммы, надо его вычесть из одного слагаемого, а другое слагаемое 
прибавить. 
2. 
Правило вычитания суммы из числа: a – (b + c) = (a - b) – c. Чтобы сумму вычесть из числа, надо из 
этого числа вычесть одно слагаемое, а затем другое. 
3. 
Правило вычитания разности из числа: a - (b – c) = a – b + c. Чтобы вычесть разность из числа, надо 
их этого числа вычесть уменьшаемое и прибавить вычитаемое.
Запись 5 ∙ 7 = 35 ученик читает так: 5 взять слагаемым 7 раз будет 35; 5 умножить на 7 получится 35; 5 
умножить на 7 равно 35; произведение 5 и 7 равно 35; значения произведения 5 и 7 равно 35; семью пять 
тридцать пять. 
312 

---

Умножение на 1 и на 0 принимается условно, однако можно и объяснить, что: 
1) a 
∙ 1 = a (число а взять слагаемым один раз), 
2) a 
∙ 0 = 0 (число а не брать слагаемым ни разу). 
Для рационализации вычислений используются законы умножения:
1) 
переместительный (коммутативный) a ∙ b = b ∙ a, 
2) 
сочетательный (ассоциативный) (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c), 
3) 
распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения и вычитания: a ∙ (b 
± c) = ab ± bc 
(левый), (a ± b) ∙ c = ac ± bc (правый). 
 
Курс математики начальной школы эти законы изучают как свойства и правила (умножения числа на 
сумму, суммы на числа и т.д.). 
Деление – это повторное вычитание одного и того же числа и связано с разбиением конечного 
множества на равночисленные, никакие два из которых не имеют общих элементов. В начальной школе об этом 
не говорят, просто рассматривают две формальные задачи: деление на части (отыскание числа элементов в 
каждом подмножестве разбиения) и деление по содержанию (отыскание числа подмножеств разбиения). 
Основные действия сложения и вычитания позволяют решать задачи на разностное, а умножение и 
деление – на кратное сравнения. В дальнейшем при обучении в школе вычислительная деятельность 
развивается, становится всё боле отвлечённой. Усвоение знания законов арифметических действий формирует 
навык рациональных приёмов устных и письменных вычислений.