Aes algoritmining markazida gf(2 8) Galua maydonlarida matematika mavjud

AES algoritmining markazida GF(2^8) Galua maydonlarida matematika mavjud.

Maydon quyida muhokama qilingan ba'zi xususiyatlarga ega bo'lgan halqadan hosil bo'ladi.

1.1 HALQALAR VA MAYDONLARNING ASOSIY TA'RIFLARI VA XUSUSIYATLARI

Bo'sh to'siq r, agar ikkita algebraik operatsiyani aniqlasa, ring deb ataladi: har ikki elementga mos keladigan qo'shimcha a, b elementi a + b, ularning miqdori deb ataladi va har ikki elementga mos keladigan ko'payish a, b ularning mahsuloti deb ataladigan AB elementi va bu operatsiyalar quyidagi xususiyatlarga ega:

I. (qo'shimcha kommutatsiya) a + b = b + a;

II. (Qo'shimcha birlashma) a + (b + c) = (a + b) + c;

III. R ning har qanday a va b uchun a + x = b tenglamasi (kamida bitta) echimga ega, ya'ni a + C = b;

IV. (Ko'paytirishni o'zgartirish) ab = ba;

"Ring" atamasi, shuningdek, nomutanosib yoki hatto dissotsiativ ko'payish bilan to'siqlarga ham qo'llaniladi. Boshqa xususiyatlarning formulalari ham o'zgaradi.

V. (ko'paytirish assotsiatsiyasi) a (bc) = (ab)c;

VI. (Qo'shimchalarga nisbatan ko'payish taqsimoti) (a + b) c = ac + bc.

Oddiy operatsiyalar bilan ring qo'shiladi va ko'paytiriladi:

1. Tamsayılar majmui.

2. Ratsional sonlar to'plami.

3. Haqiqiy sonlar to'plami.

4. Ratsional sonlar to'plami.

5. Faqat bitta raqamdan tashkil topgan to'siq 0.

6. Hatto raqamlar to'plami va umuman, bir nechta n sonidan ko'p bo'lgan tamsayılar to'plami.

7. Murakkab sonlar to'plami a+bi butun a va b (murakkab sonlarning butun halqasi deb ataladi).

8. Haqiqiy sonlar to'plami a + b√2, bu erda a va b-tamsayılar.

Tabiiy sonlar to'plami, shuningdek, barcha ijobiy ratsional sonlar to'plami halqalar emas, chunki aksiom III bajarilmaydi.

9. Bir yoki bir nechta noma'lum va ma'lum bir r rishtasi koeffitsientlari bilan polinomlarning halqasi algebra uchun katta rol o'ynaydi. bundan tashqari, qo'shimcha va ko'paytirish operatsiyalari uchun maktab algebra ma'lum bo'lgan polinomlarga nisbatan odatiy harakatlar amalga oshiriladi. Ushbu harakatlar mantiqan to'g'ri keladi, chunki ular polinom koeffitsientlarini qo'shish va ko'paytirishga tushadi, ikkinchisi esa bu harakatlar aniqlangan R halqasiga tegishli

10. Agar formulalar bilan aniqlangan bo'lsa, butun sonlarning juftlari (a, b) halqani hosil qiladi

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac, bd).

Uzuklarning misollari shuni ko'rsatadiki, ko'paytirish uchun teskari operatsiyaga nisbatan (murakkablikdan farqli o'laroq), har xil halqalar butunlay boshqacha sifatlarga ega. Masalan, Tseliks chisel rishtasida bo'linish faqat alohida holatlarda amalga oshiriladi va halqaning barcha elementlari +1 va –1 bilan bajariladi. Ringda bu oqilona chisel bo'linishi har doim ham mumkin (0 ga bo'linish bundan mustasno). Jelaya zukkolik uchun teskari operatsiya xususiyatlarini o'rganadi va halqaning muhim maxsus holati - maydonga keladi.

Maydon quyidagi fazilatlarga ega bo'lgan halqa P deb ataladi: