|
2. Koshi masalasi va uning qo‘yilishida xarakteristikalarning roli.
Giperbolik turdagi tenglama uchun Koshi masalasi bunday qo‘yiladi:
sinfga tegishli, yarim fazoda giperbolik turdagi tenglamani va da
, (2)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Misol. Ushbu tenglamaning
, boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
, tenglamalar berilgan tenglamaning xarakteristik tenglamalari. to‘g‘ri chiziqlar oilasi jumladan ham berilgan tenglamaning xarakteristikalaridan iborat, Demak, boshlang‘ich shartlar xarakteristikada berilayapti. Tenglamaning umumiy yechimi:
funksiyadan iborat. Ummumiylikka ziyon etkazmay deb hisoblash mumkin. Boshlang‘ich shartlarga asosan
.
Agar bo‘lsa, oxirgi tenglikning bajarilishi mumkin emas, Bu holda Koshi masalasi yechimga ega bo‘lmaydi. Shunday qilib, bo‘lgandagina Koshi masalasi yechimga ega bo‘lishi mumkin. Bu holda funksiya uchun ushbu funksiyani olishimiz mumkin:
bu yerda sinfga tegishli va shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya.
Agar bo‘lsa, Koshi masalasining haqiqatan yechimi mavjud bo‘lib, bu yechim
formula bilan aniqlanadi, lekin yagona emas.
Demak, xarakteristik sirtda boshlang‘ich shartlarni ixtiyoriy berilishi mumkin emas. Bu holda Koshi masalasi umuman yechimga ega bo‘lmasligi mumkin yoki yechimga ega bo‘lsa ham u yagona bo‘lmaydi.
3. Boshqa masalalar. Ikkinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili kanonik ko‘rinishga keltrilgan ushbu
(3)
umumiy chiziqli tenglama berilgan bo‘lsin. Bu tenglamaning xarakteristikalar tenglamasi
dan iborat. Bundan , to‘g‘ri chiziqlar oilasi (3) tenglamaning xarakteristikalari ekanligi kelib chiqadi.
Uchlari A, B, C va D nuqtalarda, tomonlari (3) tenglamaning xarakteristikalaridan iborat bo‘lgan to‘rtburchakni orqali belgilab olamiz. Odatda bu turtburchak Xarakteristik turtburchak deyiladi.
Gursa masalasi. turtburchakda regulyar, da uzluksiz va
, shartlarni qanoatlantiruvchi (3) tenglamaning yechimi topilsin.
Masalaning qo‘yilishiga asosan, va funksiyalar berilgan sohasida uzluksiz va shart bajarilishi zarur. Demak, Gursa masalasida (3) tenglamaning ikkita kesishadigan Xarakteristikalarida bitta chegaraviy shart beriladi.
Gursa masalasida shartlar xarakteristikalarda berilgani uchun ba masala Xarakteristik masala deb ham yuritiladi.
Endi orqali o‘qning ixtiyoriy , kesmasi va (3) tenglamaning Xarakteristikalari bilan chegaralangan uchburchakni belgilaymiz.
Bu uchburchak xarakteristik uchburchak deyiladi.
Korrekt (to‘g‘ri) qo‘yilgan masala tushunchasi. Matematik fizika masalalarining qo‘yilishida ayrim funksiyalar (boshlang‘ich, chegaraviy shartlar) ishtiroq etadi: qo‘yilgan masalaning yechimi tabiiy, shu funksiyalarga bog‘liq bo‘ladi. Bu funksiyalar, odatda tajriba asosida aniqlanadi, shuning uchun ham ularni absolyut aniq topish mumkin emas.
Demak, boshlang‘ich va chegaraviy shartlarda hamma vaqt xatolikning bo‘lishi muqarrardir. Bu xatolik o‘z navbatida yechimga ham ta’sir qiladi. Boshlang‘ich va chegaraviy masalalarni tekshirishda, yechimning mavjudligi va yagonaligidan tashqari boshlang‘ich va chegaraviy shartlarda qo‘yilgan xatolikning yechimga qanday ta’sir qilishini aniqlash muhim ahamiyatga egadir.
Har qanday masalaning mohiyati berilgan funksyailarga asosan uning yechimini topishdan iboratdir, bu yyerda va - metrikalari va bo‘lgan qandaydir metrik fazolar. Bu fazolar masalaning qo‘yilishi bilan aniqlanadi. Masalaning yechimi tushunchasi aniqlangan bo‘lib, Har bir elementlar yagona yechim mos kelsin.
Agar uchun shunday sonni ko‘rsatish mumkin bo‘lib, tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqsa, masala fazolar juftida turg‘un masala deyiladi.
Bunda , , , masalaning yechimi berilgan shartlar (boshlang‘ich va chegaraviy shartlar, tenglamaning koeffisientlari, ozod hadi va x.k.) ga uzluksiz bog‘liq bo‘ladi.
Agar tekshirilayotgan masala uchun ushbu
ixtiyoriy uchun yechim mavjud;
yechim yagona;
masala fazolar juftligida turg‘un shartlar bajarilsa, masala fazolar juftligida korrekt (to‘g‘ri) qo‘yilgan yoki to‘g‘ridan to‘g‘ri korrekt masala deyiladi.
Aks holda masala korekt qo‘yilmagan masala deyiladi, ya’ni yuqoridagi talablardan kamida bittasi bajarilmaydi.
Yechim boshlang‘ich shartlarga uzluksiz bog‘liq bo‘lmasligi ham mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
