Absolyut uzluksiz funksiyalar

7-teorema: Lebegning aniqmas integrali absolyut uzluksiz funksiyadir.
Isbot: Lebeg integralining absolyut uzluksizligi haqidagi teoremaga asosan har qanday son mavjudki, agar to’plamning o’lchovi dan kichik, ya’ni bo’lsa, u holda

Xususiy holda, ya’ni o’zaro kesishmaydigan soni chekli oraliqlar sistemasi uzunliklarining yig’indisi dan kichik bo’lsa, u holda

ammo

Bulardan:



ya’ni absolyut uzluksiz. Teorema isbot bo’ldi.


8-teorema(Lebeg). segmentda aniqlangan absolyut uzluksiz funksiyaning hosilasi jamlanuvchi va har bir uchun
(9)
Isbot: 3-Teoremaga asosan absolyut uzluksiz funksiyaning ikkita kamaymaydigan absolyut uzluksiz funksiyaning ayirmasi shaklida ifodalash mumkin;shuning uchun teoremani kamaymaydigan absolyut uzluksiz funksiyalar uchun isbotlash kifoya.
2-teoremaga asosan funksiyaning o’zgarishi chegaralangan. 6-natijaga asosan esa funksiyaning xosilasi deyarli har bir nuqtada mavjud; uni bilan belgilaymiz. Endi ning jamlanuvchiligini ko’rsatamiz.
ning hosilasi

nisbatning limitiga teng. kamaymaydigan bo’lgani uchun bo’lganda manfiy emas va da segmentning deyarli har bir nuqtasida ga yaqinlashadi.
ning jamlanuvchiligini ko’rsatish uchun Fatu teoremasidan foydalanamiz. Buning uchun funksiyalardan segment bo’yicha olingan integrallarning chegaranganligini ko’rsatamiz.
Darhaqiqat,

ifoda da ga intiladi. Chunki ning absolyut
uzluksizligiga asosan ixtiyoriy son uchun sonni shunday tanlaymizki, bo’lganda har bir uchun

bo’ladi. Shuningdek, agar bo’lsa, bo’ladi. Bulardan


.
Bundan, sonning ixtiyoriyligidan da



munosabat kelib chiqadi. Demak, ning integrali chegaralangan bo’ladi. Shunday qilib, Fatu teoremasini tadbiq qilish mumkin. Bu teoremada ning jamlanuvchiligi bilan birga

tengsizlik ham kelib chiqadi.
Agar bo’lsa, u holda hosila da jamlanuvchi va



funksiya va nuqtalarda uzluksiz bo’lgani uchun





absolyut uzluksiz bo’lganda (9) tenglik o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz.

Ushbu

funksiyani kiritamiz.
funksiya 7-teoremaga asosan absolyut uzluksiz teoremaga asosan deyarli
har bir nuqtada

Amm ikkinchi tomondan ;shuning uchun ayirmaning hosilasi deyarli har bir nuqtada nolga teng. Demak 5-teoremaga asosan o’zgarmas songa teng. U holda
.
Agar bo’lsa, . Shu bilan teorema to’la isbot etildi.
7- va 8- teoremalardan quyidagi muhim natija kelib chiqadi.
9-natija: funksiya biror jamlanuvchi funksiyaning aniqmas integrali bo’lishi uchun absolyut uzluksiz bo’lishi zarur va yetarli.