Absolyut uzluksiz funksiyalar

4 -Teorema: segmentda absolyut uzluksiz funksiya berilgan bo’lib, uning qiymatlari segmentda joylashgan bo’lsin. Agar segmentda berilgan berilgan funksiya Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda murakkab funksiya absolyut uzluksiz bo’ladi.
Isbot: funksiya Lipshits shartini qanoatlantiradi, ya’ni

tengsizlik o’rinli. Demak, ixtiyoriy o’zaro kesishmaydigan soni chekli va segmentda joylashgan oraliqlar sistemasi uchun

munosabat o’rinli.
Agar yigindi istalgancha kichik bo’lsa, u holda ning absolyut uzluksizligiga muvofiq oxirgi munosabatning o’ng tomoni istalgancha kichik bo’ladi.
5 - Teorema . Agar segmentda aniqlangan absolyut uzluksiz funksiyaning hosilasi deyarli har bir nuqtada nolga teng bo’lsa, u holda o’zgarmas songa teng.
Isbot: tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalardan iborat to’plamni bilan belgilab, ixtiyoriy sonni olamiz. Agar bo’lsa, u holda yetarli kichik son uchun
(5)
tengsizlik o’rinli bo’ladi. segmentlar sistemasi Vitali ma’nosida to’plamni qoplaydi. Chunki har bir uchun bo’lib, va yetarli kichik son.
Shuning uchun har ikkisi o’zaro kesishmaydigan, soni chekli va segmentda joylashgan shunday



segmentlar sistemasini tuzishimiz mumkinki, to’plamning bular qoplanmagan qismining tashqi o’lchovi oldindan berilgan ixtiyoriy sondan kichik qilinishi mumkin. segmentdan segmentlarni chiqarib tashlash natijasida hosil bo’lgan oraliqlar


(6)
oraliqlardan iborat bo’lib, bular uzunliklarining yig’indisi dan kichik bo’ladi,chunki

bundan

Endi ning absolyut uzluksizligidan foydalanib, berilgan bo’yicha ni shunday kichik qilib olamizki, uning uchun funksiyaning oraliqlar sistemadagi orttirmalari yig’indisining moduli dan kichik, ya’ni
(7)
bo’lsin.
Ikkinchi tomondan, segmentlarning tuzilishiga ko’ra



bundan:
(8)
chunki

(7) va (8) lardan:

va ni ixtiyoriyligidan

tenglik kelib chiqadi.
Ammo yuqoridagi mulohazlardan xar qanday segment uchun joriy etishimiz mumkin edi. Shuning uchun segmentdan olingan ixtiyoriy uchun ham

ya’ni funksiya o’zgarmas songa teng ekan.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
6-natija: Agar ikki absolyut va funksiyalarning hosilalari va o’zaro ekvivalent bo’lsa, u holda bu funksiyalarning ayirmasi o’zgarmas songa teng bo’ladi.