Abdurahmonov Sardorbek Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnis formulasi

y=f(x).

Egri chiziq yoyining uzunligi.


3.1. Dekart koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi hisoblash.
Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq   tenglama bilan berilgan bo’lsin.

Bu egri chiziqning x=a va x=b vertical to’g’ri chiziqlar orasidagi AV yoyining uzunligini topamiz (6-rasm)
y

B

M₁

A

0 a x₁ x₂ x_i-1 x_i b x

6-rasm

AB yoyda abstsissalari   bo’lgan A, M₁, M₂,…,M_i,…B nuqtalarni olamiz va AM_1, M₁M₂,…M_n-1 B vatarlarni o’tkazamiz, ularning uzunliklarini mos ravishda   bilan belgilaymiz.

AB yoy ichiga chizilgan aniq chiziqning uzunligi

 bo’lgani uchun AB yoyning uzunligi

 (1)

bo’ladi.

Faraz qilaylik,   funksiya va uning   hosilasi [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsin.

U holda

Yoki Lagranj teoremasiga asosan

 bunda

 bo’lgani uchun

 bo’ladi

Ichki chizilgan siniq chiziqning uzunligi esa

 bo’ladi

Shartga ko’ra   funksiya uzluksiz. Demak,   funksiya ham uzluksizdir. Shuning uchun integral yig’indining limiti mavjud va u qo’yidagi aniq integralga teng.

Demak, yoy uzunligini hisoblash formulasi:

 (2)

ekan.

Endi egri chiziq tenglamasi

 (3)

Parametric ko’rinishda berilgan bo’lsin, bunda   uzluksiz hosilali uzluksiz funksiyalar va   berilgan oraliqda nolga aylanmaydi.

Bu holda (3) tenglama biror   funksiyani aniqlaydi.

Bu funksiya uzluksiz bo’lib   uzluksiz hosilaga ega,   bo’lsin (6) integralda   almashtirish bajaramiz. U holda

 (4)

Agar egri chiziq fazoda

 (5)

Parametric tenglamalar bilan berilgan va   funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz hamda uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, egri chiziq aniq limitlarga ega bo’ladi va u

 (6)

Formula bilan aniqlanadi.