А. А. Самарский, А. В. Гулин

З а м е ч а н и е 2. Если сетка шт неравномерная,
м , = {^п, 
п =  0, 1, . . . , К, t0= 0 , t K = T}
с шагами Tn+i = ^n + i—
tn, и = 0 , 1, 
К— 1, то в качестве канонической формы
двуслойной схемы можно взять уравнение
У п + i
—
У п
В --------------- + Ауа = <рпг 
п = О, 1, . . . , К — 1.
тп
+1
З а м е ч а н и е 3. Канонический вид двуслойной разностной схемы по фор­
ме записи аналогичен одношаговому итерационному методу решения системы ли­
нейных алгебраических уравнений
Ау 
=
ср 
(8)
(см. § 1 гл. 2 ч. II). Такая аналогия не является формальной, поскольку переход
от уравнения (8) к итерационному методу
В Уп+1 ~ Уп 
=  Ф 
О)
т
можно трактовать 
как 
замену стационарного уравнения (8) нестационарным
уравнением (9). Отличие итерационного метода (9) от разностной схемы (3) со­
стоит в том, что в уравнении (9) а) Л и ср не зависят от 
п, б) итерационный па­
раметр т не обязан стремиться к нулю.
2. Устойчивость разностных схем. Как и в случае стационарных 
задач, разностная схема (3) называется 
корректной,
если ее реше­
ние 
уп = уклЦ
„): а) существует, б) единственно, в) непрерывно (при­
чем равномерно относительно т и 
h)
зависит от входных данных 
ф(/„) и 
у 0.
В дальнейшем всегда будет предполагаться, что опера­
тор В-1 существует (если 
В = Bhz(tn) ,
то предполагается существо­
вание В-1 при всех допустимых значениях /г, т, 
tn).
Тем самым га­
рантируется существование и единственность решения задачи (3).
Дадим строгие определения устойчивости. Будем считать, что в 
Hh
заданы две нормы: || • ||1л, в которой измеряется решение 
y{t
n) е
е К и I • ||2й, в которой измеряется правая часть ф((„).
О п р е д е л е н и е 1. Разностная схема (3) называется 
устойчи­
вой,
если существуют постоянные Л1,>0, Л12> 0 , не зависящие от 
h,
т, 
п
и такие, что при любых правых частях фм ( /„ ) е Я Л и любых 
начальных данных 
ya^ H h
для решения уравнения (3) выполняется