А. А. Самарский, А. В. Гулин

висит от 
h,
т, 
п.
Если, например, р = ес«т, то 
рп~ е с°™ = ес*‘п ^ е 11*7,
т. е. 
М
=
ес«т>
где 
Т = Кт.
Перепишем однородное уравнение (11) в виде
У
n+1 
н
0, 1, . . ., /( 1,
352
(16)

---

где оператор
S = E —xB~lA
(17)
называется 
оператором перехода схемы
(3).
Нетрудно видеть, что в силу произвольности 
требование
(15) равномерной устойчивости по начальным данным эквивалент­
но ограниченности нормы оператора 5 константой р:
IISIKp. 
(18)
Отметим, что оператор S может зависеть от 
п.
В дальнейшем допустимыми значениями 
п
будем называть чис­
ла 
п —
1, 2, . . . ,
К
—
1 
такие, что 
Кт=Т,
где 
Т > 0
— заданное число. 
Необходимо отметить, что 
К-п-оо
при т—>-0.
Т е о р е м а 1. 
Пусть схема
(3) 
равномерно устойчива по началь­
ным данным в норме
[| • |jlft. 
Тогда схема
(3) 
устойчива и по правой
части, причем для ее решения выполнена оценка
(10), 
где
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Перепишем уравнение (3) при 
п
= / в виде 
У in
=
Si+ly/ +
т
и применим неравенство треугольника:
II
У / п
Hi/. < II 
IIII 
У>
lift + т 1 f i7 4
\\l h -
Из требования равномерной устойчивости по начальным данным в 
силу оценки (18) получаем неравенство
I 
У/
+i Hi* ■ ;р|Ы 1* + т | 
B /‘v/ihh,
которое приводит к оценке
II^ IU ^ p ^ M li/o lk + 2 тр*-/II5 7 4 /lift. 
(19)
/=0
Согласно условию равномерной устойчивости по начальным дан­
ным имеем, что 
для всех допустимых 
п,
в частности р"+1^
г
рп~ ^ М , .
Поэтому из оценки (19) получим
II 
Упп lih
^ ЗД 
у0 \\lh
+ 2 Т I 
lift J •
Для завершения доказательства теоремы 1 остается заметить, что
П
2 т 1В7 Ч HiЛ ^
tnn
max || ВУ'Ф/ |lft sc 
Т
max || 
Bpq>,
||Ift.
/ = о
0Имея в виду теорему 1, можно ограничиться изучением равно­
мерной устойчивости по начальным данным. Мы будем рассматри­
вать лишь случай, когда выполняется оценка (15) с константой
р=1.
12 А. А. Самарский, А. В. Гулин