А. А. Самарский, А. В. Гулин

чает, что при небольшом изменении входных данных решение изменяется мало.
Таким образом, для исследования устойчивости необходимо рассматривать урав­
нение, которому удовлетворяет погрешность, возникающая в результате возму-
342

---

щения входных данных. Однако в случае линейного оператора 
Ап структура урав­
нения для погрешности та же, что и основного уравнения (2). Поэтому при ис­
следовании устойчивости достаточно ограничиться оценкой (10). Действительно,
рассмотрим наряду с (2) уравнение
V h = ‘Pft)*
отличающееся от (2) правой частью. 
Для погрешности 
гк=Ук— Щ 
получим
уравнение
'4л2/, = бфЛ,
где 6фл = фл— ф*,1* — возмущение правой части. Если выполнена оценка (10), то
II** Him ^ ^
i
II
s
<
p
JI(2A),
следовательно, |г А1(1 , -> 0 при 1) 6фЛ 
-+0 и задача (2) устойчива.
Нетрудно получить некоторые достаточные условия корректно­
сти. Предположим, что 
Hh
— вещественное конечномерное про­
странство, в котором введены скалярное произведение 
{у,
и)Л и 
норма II 
y h
—У 
(у, у)н.
Справедливо следующее утверждение.
Если существует постоянная
б > 0 , 
не зависящая от h и такая,
что при любом vhe H h выполнено неравенство
(AkVh,
Uft)h>fi||Uftfi*> 
(11)
то уравнение
(2) 
корректно и для его решения выполняется оценка
(
12
)
Чтобы доказать существование и единственность решения 
уравнения (2), достаточно убедиться в том, что однородное урав­
нение
Л
а
= 0 
(13)
имеет только тривиальное решение 
2
Л = 0.
Пусть 
zh
— решение уравнения (13). Тогда согласно (11) имеем
б I 
Zh
|* 
(AhZh, Zh) —
0,
откуда получаем ||
2Л||Л= 0
и, следовательно, 
0.
Докажем оценку (12). Согласно условию (11) для решения 
уравнения (2) справедливо неравенство
б I 
У 
It
||„ 
(ф 
h, yh)h-
Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем, что
б 1 
у к
I? ^ I ф4,1Ы1/г-
Отсюда немедленно следует оценка (12).
Отметим связь условия (11) с оценками собственных значений