А. А. Самарский, А. В. Гулин

(/) = Р* (/) = У f -  Sin
/2 
i
k = l , 2, 
,
iV
2
v—
1
.
h
=
тг
sin
2 
hi
2/,
(3)
Зафиксируем какое-либо значение индекса 
i,
0<^<Л^4, и будем рас­
сматривать 
yiU fij
как функции, зависящие только от /, / =
1
, 
2, ...
. . . , Ni— \.
Тогда можно разложить 
ytj,
по собственным Ф
УН
КЦ
И
ЯМ
задачи (
2
), т. е. представить их в виде
N2-l
 
Л/2-1
у
 и =
 
2
 
Ck
 
(0
 
р
* (/)> /о =
2
^
р
* (/)■ 
(4)
£ = 1
£ = 1
337

---

Подставляя разложения (4) в уравнение (1), получим
2 г* (/) 
{Ск
(0)7Л>( + 2 с* w ^ (/))гЛ>/ = — 2
(о .u* 0‘).
ft=l 
ft=i 
ft=i
откуда, учитывая уравнение (2) и линейную независимость 
при­
ходим к уравнениям (с*.(£))- ; —
Xkch{i)+ fh(i)— 0.
Таким образом, 
для нахождения коэффициента 
ск, k
= \ , 2, 
N2
—1, в разложе­
нии (4) получаем систему разностных уравнений второго порядка
ck (i
+ 1) — 
2ck (i)
+
ck (i
— 1)
К
— 
hck
 (0 + 
fk
 (0 = o,
t = l . 2, . . . ,
N {
—1, ck(0) 
= c K(Ni)
= 0 .
(5)
Здесь числа 
Хк
заданы согласно (3), а значения 
fh(i)
вычисляются 
по правилу
fk
(0 = 2
hJmik
(/'), 
f = 1, 2, 
. . . , Nx
— 1. 
(6)
/'=1
Уравнение (5) решается методом прогонки
1 
о (А) ___„ (ft) / о (ft)
al t-1 -
P ^ = a i J i ( r + AJ/ft(0).
2 + /ф*-а<*> 
i = l , 2 ,
, N , - 1 ,
=
=
=
+
* = ^ - 1 , ^ - 2 , . . . . 1, Cf t W = 0.
Таким образом, рассматриваемый алгоритм решения задачи (1) 
состоит в следующем. Сначала по формулам (6) вычисляются ко­
эффициенты Фурье правой части 
f a .
 
При каждом фиксированном 
i  
суммы вида (6) можно вычислить для 
k = l ,
2, . . . ,
N2
—1 с по­
мощью быстрого дискретного преобразования Фурье за число дей­
ствий 
0 { N 2\n N 2),
а вычисление этих сумм для всех 
i =
1, 
2, ...
. . . , N x
— 1 потребует 
О (NlN1
In 
Ыг)
действий. Затем надо решить 
методом прогонки уравнения (5) для 
k — \,
2, . . . ,
N2
— 1, что по­
требует 
0 ( N
i
N2)
действий. Наконец, зная коэффициенты Фурье 
ch{i),
можно восстановить решение 
Цц
по формулам
Л',-1
У и
=
2
Ск
(0 ^ (/)» 1 = 1 . 2, 
. . . ,
— 1, / = 1, 2, . . . , 
N 2—
1,
ft=i
которые аналогичны формулам (6) и требуют того же числа дей­
ствий 
О (MlN2
In 
N2) .
Следовательно, изложенный здесь алгоритм может быть реали­
зован за число действий 0 (A \
j
V2 
ln N 2).
Д л я сравнения отметим, что
обычный метод исключения Гаусса потребовал бы 
0 ( N 6)
действий 
и, кроме того, громадной машинной памяти.
Недостатком данного метода является необходимость построе­
ния в явном виде собственных чисел и собственных функций одно-
338

---

мерной задачи. В случае, когда решение задачи на собственные 
значения в явном виде выписать невозможно (например, для крае­
вых условий третьего рода или в случае переменных неразделяю- 
щихся коэффициентов), данный метод неприменим.
Заметим еще, что рассмотренный метод можно применять и для 
решения неявных разностных уравнений, возникающих при аппро­
ксимации двумерных нестационарных задач, подобных тем, кото­
рые рассматривались в п. 4 § 3. В этом случае уравнения, анало­
гичные (1), приходится решать многократно (на каждом времен­
ном слое), поэтому особенно важной становится экономия числа 
действий, которую обеспечивает данный метод.
Г Л А В А 4
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
В главе 3 уже изучалась устойчивость разностных схем, аппро­
ксимирующих уравнение теплопроводности. В настоящей главе 
изучается устойчивость двуслойных и трехслойных линейных раз­
ностных схем общего вида. Разностные схемы рассматриваются 
независимо от тех или иных исходных уравнений и определяются 
как операторные уравнения с операторами, действующими в евкли­
довом пространстве. Условия устойчивости формулируются в виде 
операторных неравенств. Применение теории к исследованию устой­
чивости конкретных разностных схем состоит в приведении этих 
схем к каноническому виду и проверке выполнения операторных 
неравенств.
Параграф 1 носит вспомогательный характер, в нем на приме­
рах поясняется, что разностную схему можно рассматривать как 
операторное уравнение; при этом корректность схемы определяется 
не структурой разностного оператора, а его общими свойствами, 
такими, как самосопряженность и положительная определенность. 
В § 2, 3 излагаются элементы теории устойчивости двуслойных и 
трехслойных разностных схем, а в § 4 теория устойчивости приме­
няется к исследованию экономичных разностных схем для много­
мерных задач математической физики.