А. А. Самарский, А. В. Гулин

для хеш»,
соЛ=
{Xi=ih,
г = 1,2........
N
—1, 
h N = l ) .
340
Недостатком данного метода является необходимость построе­
ния в явном виде собственных чисел и собственных функций одно-
338

---

Определим в 
оператор 
А
и вектор ср следующим образом:
(■A y =
№> = -y-„ .f
i = 2,3.....
N -
 
2
, 
(
5
)
z 
A x 
U
n
-2
”1” 
^N
-1
(%)"-! = --------
-2
------- •
N
—2, (£„_, = fjy-i. 
(6)
Тогда разностную схему (4) (или, что то же самое, разностную схе­
му (3)) можно записать в операторной форме (1). Матрица этого 
оператора является симметричной и трехдиагональной. Например, 
для случая iV = 6 она имеет вид
2
— 1
0
0
СГ
1
2
— 1
0
0
0
— 1
2
— 1
0
0
0
— 1
2
— 1
0
0
0
— 1
2
Возможно и несколько иное определение оператора 
А,
позво­
ляющее записать выражения для его компонент единообразно во 
всех точках сетки соЛ. Пусть 7/lv-i— подпространство функций, за­
данных на сетке 
и обращающихся в нуль при 
i =
0, 
i = N .
Вве­
дем оператор 
А,
действующий из #w-i в 
и определенный фор­
мулами
{Ay)i = ~ y - Xi, i =  
1, 2, 
, JV— 1, 
y0 = yN =
0, 
(7)
и зададим вектор ф согласно (6). Тогда по-прежнему разностную 
схему (3) можно записать в виде 
А у —
ф, где 
у ^ Н % -и
ф
^ H N^ .
Такое определение оператора 
А
мы уже использовали в § 1 гл. 3. 
Подчеркнем, что формулы (5) и (7) определяют, по существу, один 
и тот же оператор.
Разностные схемы для многомерных задач также можно пред­
ставить в операторной форме (1).
П р и м е р 2. В области 
G (0
1, 2) введем сетку
Q h =
{
х ц
= ( 4 ° ,
х 2 )
| 
x f
=
i hlt x f = j h 2,
i = 0, 1, . . . , Nly / — 0, l, . . . , N2, h1N1 = l1, h2N2 = l2).
Пусть 
yh
— множество узлов сетки £2Л, принадлежащих границе об­
ласти 
G
и 
соь
— множество внутренних узлов сетки Qft. Рассмотрим 
разностную схему, аппроксимирующую уравнение Пуассона
Ут^.и + Ут^.ц
= - А/, если 
хц 
е
У а =