9. Xususiy vektorlar va xususiy qiymatlar masalasi

2.2-misol.

tenglamaning z = 0 nuqta atrofidagi yechimini toping.
Yechimni

ko‘rinishda qidiramiz. Rekurrent munosabat:

Bu yerdan kelib chiqadiki,

Topilgan fundamental yechimlar sistemasi:

2.3-misol.

tenglamaning z = 0 nuqta atrofidagi yechimini toping.
Yechim. Yechimlarning fundamental sistemasi:

2.4-misol.
tenglamaning z = 0 nuqta atrofidagi yechimini toping.
Yechim. Yechimlarning fundamental sistemasi:

2.5-misol.

tenglamaning z = 0 nuqta atrofidagi yechimlarini toping.
Yechim. Yechimni ko‘rinishda izlaymiz. Koeffitsiyentlar
uchun quyidagi rekurrent munosabat topiladi:

Agar yechimning yoyilmasini tenglamaga qo‘yilsa ekanligi darhol
ko‘rinadi. Demak, deb olishimiz kerak. Qolgan
koeffitsiyentlar:
va h.k.
Yechimlar fundamental sistemasi:

2.6-misol.

tenglamaning z = 0 nuqta atrofidagi yechimlarini toping.
Yechim. ko‘rinishda izlaymiz. Koeffitsiyentlar uchun quyidagi rekurrent munosabat topiladi:

Ikkita yechim topildi:

va

Ikkala qator ham butun kompleks tekisligida yaqinlashuvchidir. Ko‘rinib
turibdiki, da ikkala qator ham ko‘rinishga ega bo‘ladi. Odatda bu
misoldagi tenglama kvant mexanikasida chiziqli ossillator masalasida uchraydi,
to‘lqin funksiyasi da o‘sishi mumkin emas, shuning uchun qatorni
cheklashimiz kerak. Buning uchun deb olinsa yetarli.
Masalan, bo‘lganda bo‘ladi va yechim qaralmaydi,
bo‘lganda bo‘ladi va yechim qaralmaydi,
bo‘lganda bo‘ladi va yechim qaralmaydi. Olingan polinomlar
sistemasi (mos keluvchi norma tanlab olingandan keyin) Hermite polinomlarini
tashkil qiladi.