8-mavzu. Nyuton binomi. Binomial koeffiesientlarning xossalari. Rеja: Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar. Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Paskal uchburchagi. Tayanch

xossa .

m1


C

C
n m

n

n  m m 1

( m  0,1,2,..., n  1 ) tenglik o‘rinlidir.

Haqiqatdan ham,

_Cm1

n <sub>

C</sub>m

n!


(m 1)!(n  m 1)! _

n!
m!(n  m)! _

(m 1)!(n  m 1)!

n

m!(n  m)!
_ m!(n  m  1)!(n  m) _ n  m _.

m!(m  1)(n  m  1)! m  1

Bu xossa binomial koeffitsientlar qatoridagi istalgan ketma-ket ikki elementning biri ma‟lum bo„lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko„rsatadi:

_Cm1 _ ^{n  m} _Cm _,


C^m 

m  1 _{Cm1 ,}

bu yerda

n

m  0,1,2,..., n  1 .

m  1 <sup>n

n</sup> n  m ⁿ

2. 
   xossa . Ixtiyoriy natural n son uchun barcha
   

^m m  0,n

) binomial

(

n

C
koeffitsientlar yig‘indisi

2ⁿ ga teng, ya’ni

C⁰  C¹  C²  ...  C^n1  Cⁿ  2ⁿ .

n n n n n
Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a  b  1 deb olganda hosil bo„ladi.

3. 
   xossa . Toq o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisi juft o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisiga teng.
   

Haqiqatdan ham, Nyuton binomi formulasida a 1 va b  1 deb olganda

0  C⁰  C¹  C²  C³  ...  (1)ⁿ Cⁿ

n n n n n
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to„g„riligi kelib chiqadi.

2- va 3- xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

4. 
   xossa . n natural sondan oshmaydigan eng katta toq m son uchun
   

C¹  C³ ...  C^m  2^n1 tenglik hamda ⁿ sondan oshmaydigan eng katta juft ^m son uchun

n n n

C⁰  C² ...  C^m  2^n1 tenglik o‘rinlidir.

n n n

4. 
   xossa . Toq n son uchun
   

n1

n1 _1

n1 _1

n1 _2

C⁰  C¹  ...  C ²  C ² , C ²  C ²  ...  Cⁿ ,

n n n n n n n
juft n son uchun esa
n n n _1

C⁰  C¹  ...  C ² , C ²  C ²  ...  Cⁿ ,

n n n n n n
munosabatlar o‘rinlidir.

Haqiqatdan ham,

_{m } n  1

2

shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural n va m

sonlar uchun

n  m _{ 1}

m  1

tengsizlik o„rinlidir,

_{m } n  1

2

bo„lganda esa

n  m _{ 1}

m  1

tengsizlikka ega bo„lamiz. Bu yerda

_Cm1 _ ^{n  m} _Cm

formulani (1- xossaga qarang)

ⁿ m  1 ⁿ

qo„llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz.

Agar n toq son bo„lsa,

_{n } n  1

_{m } n  1

2

butun son bo„lib,

n  m <sub>


2 </sub> 2n  n  1 _ n  1 _{ 1}

munosabat o„rinlidir. Demak,

_Cm1 _ ^{n  m} _Cm

m  1

n  1 _{ 1}

2

n  1  2
n  1

n  1

n1 _1


n1

ⁿ m  1 ⁿ

formuladan m 

2

bo„lganda C_n ²

 C_n ²

tenglik kelib chiqadi.

n
Binomial koeffitsientlarning 5- xossasi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig„i bo„lib, unga ko„ra binomial koeffitsientlar oldin C⁰  1dan

n
 ⁿ 


C ^{ 2} ^ gacha¹¹ o„sadi, keyin esa

Cⁿ  1gacha kamayadi hamda ⁿ toq bo„lganda binomial

n
koeffitsientlar qatorining o„rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo„lganda uning o„rtadasigi hadi eng katta va yagonadir.

Quyidagi 6–8- xossalar o„rinlidir.

4. 
   xossa . Cⁿ  Cⁿ
   

 ...  Cⁿ

_{ C}n1 _.

n n1

nk

nk 1

7- xossa . C⁰ 2  C¹ 2  ...  Cⁿ 2  Cⁿ .

n n n 2n
8- xossa . C⁰C^k  C¹C^k1 ...  C^kC⁰  C^k .

n m n m

n m nm

Oxirgi tenglik Koshi¹² ayniyati deb aytiladi.

Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6- xossaning isbotini keltiramiz.

Birinchidan,
s  (1  x)ⁿ  (1  x)^n1  ...  (1  x)^nk
ko„phad uchun Nyuton binomi formulasini qo„llab, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
n n1 n k

s  _C^mx^m  _C^m x^m  ...  _C^m

x^m .

n

m0
m0

n1
m0

n k

Bu yerdan, s ko„phaddagi xⁿ ifodaning koeffitsienti

Cⁿ  Cⁿ ...  Cⁿ

n
yig„indiga tengligini aniqlash mumkin.

n1

nk

Ikkinchidan,

s  (1 x)ⁿ (1 (1 x) ...  (1 x)^k )

ifodani geometrik progressiya hadlari

yig„indisi formulasiga binoan quyidagicha ham yozish mumkin:






^{11 [a]} yozuv a sonning butun qismini anglatadi.

¹² Koshi (Cauchy Ogyusten Lui, 1789-1857) –fransuz matematigi.

s  (1

_n (1 x)^k1 1 _ 1 _

• 
  x)
  

nk 1 _

(1

x)ⁿ .

(1

x)
1 x 1 x


C
Bu yerda ham Nyuton binomi formulasini qo„llab, hosil bo„lgan ko„phadning xⁿ daraja

qatnashgan hadi koeffitsienti

n1 nk 1

ekanligini ko„rish mumkin. Keltirilgan bu

mulohazalar asosida 6- xossadagi tenglikka ega bo„lamiz.

Ravshanki,

_Cm _{ C}nm

formula e‟tiborga olinsa, 7- xossa 8- xossadan

m  k  n

n n

bo„lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning uchun faqat 8- xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.

Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko„ra

(1  x)  _C x ,
n

n s s

n

s0

m


(1  x)  _C x ,
m t t

m

t0

nm


(1 x)  _C

x
nm p p

nm

p0

tengliklarga, bulardan esa

(1 x)ⁿ (1 x)^m  (1 x)^nm

bo„lgani uchun

n m nm

_C^s x^s _C^t x^t  _C ^p

x ^p tenglikka ega bo„lamiz. Oxirgi tenglikning ikkala tomonidagi

n

s0

m

t 0
p0

nm

x^k ( k  0,1,..., min(m, n) ) daraja koeffitsientlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi

kerak bo„lgan formulani hosil qilamiz.

Albatta, yuqoridagu uchta xossalar boshqa usullar bilan ham isbotlanishi mumkin. Quyida 8- xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.

2. 
   m i s o l . Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz.
   

ⁿ nafar o„g„il va ^m nafar qiz bolalardan tashkil topgan talabalar guruhidan k


C
( ^{k  0,1,..., min(m, n)} ) nafar talaba tanlash zarur bo„lsin. n  m nafar talabalardan k nafar

talabani

k nm

xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.

Boshqa tomondan olib qaraganda,

n  m

nafar talabalardan iborat to„plamdan

^{tanlanadigan barcha} k ^{elementli qism to„plamlarni ularning tarkibidagi o„g„il bolalar} soniga qarab sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor. Tarkibida ^s ( 0  s  k )


C

n

C
^{nafar o„g„il bola bo„lgan} k ^{elementli qism to„plamni oldin s xil usul bilan tanlab,}

keyin

(k  s)

nafar qiz bolalarni

k s m

xil usullardan birortasi yordamida tanlash mumkin.

Demak, tarkibida ^s nafar o„g„il bola bo„lgan k nafar talabadan iborat qism to„plamlar

soni, ko„paytirish qoidasiga asosan,

_Cs_Ck s

songa tengdir. Noldan k gacha bo„lgan

n m

barcha butun s sonlar uchun barcha kombinatsiyalarni hosil qilib va bu kombinatsiyalarga mos ko„paytmalarni yig„ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz.

Binomial koeffitsientlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash mumkin. Misol sifatida to„plamlamlar nazariyasiga tadbiqini qaraymiz.

2. 
   m i s o l . Chekli A to„plam 2^A buleanining elementlari va bu elementlar soni
   

bilan binomial koeffitsientlarning uzviy bog„lanishi bor. Bu bog„lanish quyidagicha

ifodalashi mumkin. Chekli A to„plam 2^A buleani tarkibidagi elementlar A to„plamning

qism to„plamlaridan iborat bo„lgani uchun, shu qism to„plamlarni quvvatlari bo„yicha ^{( | A | 1 )ta guruhlarga ajratish mumkin. Tushunarliki, bu yerda} k ^{raqamli guruh (} k  0,| A | ^{) quvvati} k ^{ga teng bo„lgan barcha qism to„plamlardan tashkil topadi va undagi}


C

n
qism to„plamlar soni ^k ga teng. Bu mulohazani hisobga olgan holda 2- xossa

yordamida ushbu bobning 1- paragrafidagi 1- teoremaning boshqa bir isbotiga ega bo„lamiz.

Binomial koeffitsientlarning yana bir xossasi ushbu bobning 7- paragrafda isbotlanadi.