8-mavzu. Nyuton binomi. Binomial koeffiesientlarning xossalari. Rеja: Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar. Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Paskal uchburchagi. Tayanch

Nyuton binomi haqida umumiy ma’lumotlar. O„rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko„paytirish formulalarini eslaylik:

(a  b)²  a²  2ab  b² – yig„indining kvadrati;

(a  b)³  a³  3a²b  3ab²  b³ – yig„indining kubi.
Yig„indining navbatdagi ikkita, ya‟ni 4- va 5- darajalarini hisoblaymiz:
(a  b)⁴  (a  b)(a  b)³  (a  b)(a³  3a²b  3ab²  b³ ) 

^{ a4  4a3b  6a2b2  4ab3  b4} ,

(a  b)⁵  (a  b)(a  b)⁴ 

^{ a5  5a4b  10a3b2  10a2b3  5ab4  b5} .

Shunday qilib, yig‘indining bikvadrati (ya‟ni to„rtinchi darajasi)

(a  b)⁴  a⁴  4a³b  6a²b²  4ab³  b⁴
va yig„indining beshinchi darajasi
(a  b)⁵  a⁵  5a⁴b  10a³b²  10a²b³  5ab⁴  b⁵
formulalariga ega bo„lamiz.

Yuqorida keltirilgan yig„indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o„ng tomonlaridagi ko„phad koeffitsientlari Paskal uchburchagining mos

n
qatorlaridagi C^m ( ^{n  2,3,4,5} ) sonlar ekanligini payqash qiyin emas.

1. 
   t e o r e m a . Barcha haqiqiy ^a va b hamda natural ⁿ sonlar uchun
   

(a  b)ⁿ  aⁿ  C¹a^n1b  C ²a^n2b² ...  C^n1ab^n1  bⁿ

formula o‘rinlidir.

n n n

Isboti . Matematik induksiya usulini qo„llaymiz.

Baza:

n 1 bo„lganda formula to„g„ri:

(a  b)¹  a  b .

ya‟ni

Induksion o„tish: isbotlanishi kerak bo„lgan formula

n  k

uchun to„g„ri bo„lsin,

(a  b)^k  a^k  C¹a^k1b  C²a^k2b² ...  C^k1ab^k1  b^k .

k k k

Formula

n  k 1

bo„lganda ham to„g„ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham,

C^m1  C^m  C^m1 formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:

n1 n n

(a  b)^k1  (a  b)(a  b)^k 

 (a  b)(a^k  C¹a^k1b  C²a^k2b² ...  C^k1ab^k1  b^k ) 

k k k

 a^k1  C¹a^kb  C²a^k1b² ...  C^k ab^k 

k k k

 C⁰a^kb  C¹a^k1b² ...  C^k1ab^k  b^k1 

k k k

 a^k1  (C⁰  C¹)a^kb  (C¹  C²)a^k1b² ...

k k k k

...  (C^k1  C^k )ab^k  b^k1 

_{ a}k1 _{ C}1

k k

a^kb  C² a^k1b² ...  C^k

ab^k  b^k1 .

k1

k1

k1

^{Ixtiyoriy a va} b ^{haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun}

(a  b)ⁿ

ifodaning

ko„phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton ⁶ binomi deb ataladi. Umuman olganda, “Nyuton binomi” iborasiga tanqidiy nuqtai nazardan yondoshilsa, undagi

ikkala so„zga nisbatan ham shubha tug„iladi: birinchidan,

(a  b)ⁿ

ifoda birdan katta

natural n sonlar uchun binom (ya‟ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyutongacha ma‟lum edi⁷.

Greklar

(a  b)ⁿ

ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat

n  2

bo„lgan holida

(ya‟ni, yig„indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Hayyom⁸ va Ali Qushchi

(a  b)ⁿ

ifodani

n  2 bo„lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton

esa 1767 yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar uchun ham qo„llagan. L. Eyler 1774 yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchun isbotladi, K. Makloren ⁹ esa bu formulani darajaning ratsional ko„rsatkichlari uchun qo„lladi. Nihoyat, 1825 yilda N. Abel ¹⁰ daraja ko„rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.

n

C
^m sonlarni binomial koeffitsientlar deb ham atashadi. Bunday ta‟rif bu


n
koefitsientlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o„rniga qarab berilgan bo„lib, C^m

son

(a  b)  _C a b
n

n m nm m

n

yoyilmadagi
_anm_bm

m0
ifodaning koeffitsientidir.

2. 
   t e o r e m a . Barcha haqiqiy ^a va b hamda natural ⁿ sonlar uchun
   

(a  b)  _(1) C a b
n

n m m nm m

n

formula o‘rinlidir.

m0

⁶ Isaak Nyuton (Newton, 1643-1727) –ingliz fizigi, mexanigi va matematigi.

⁷ Ushbu paragrafning 3.1 bandidagi xronologik ma‟lumotlarga qarang.

⁸ Umar Hayyom G„iyosiddin Abul-Fatx ibn Ibrohim (خیام عمر, 1048 yil atrofida tug„ilgan-1122 yildan so„ng vafot etgan) – fors va tojik shoiri, matematigi va faylasufi.

⁹ Makloren Kolin (Maclaurin Colin, 1698-1746) – Shotlandiya matematigi.

¹⁰ Abel Nils Xenrik (Niels Henric, 1802-1829) – Norvegiya matematigi.

^{Isboti . Nyuton binomi formulasida} b ^{ni (}  b ^{)ga almashtirsak kerakli formulani} hosil qilamiz.

1. 
   m i s o l . Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko„paytirish formulalari kelib chiqadi:
   

n  2 bo„lganda ayirmaning kvadrati formulasi

(a  b)²  a²  2ab  b² ;

n  3 bo„lganda ayirmaning kubi formulasi

(a  b)³  a³  3a²b  3ab²  b³ .

Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.

Haqiqatdan ham, ixtiyoriy

a,b₁,b₂ ,..., b_n

sonlar uchun

(a  b₁ )(a  b₂ )...(a  b_n )

ifodani

(a  b )(a  b )...(a  b )  aⁿ  a^n1(b  b  ...  b ) 

1 2 n 1 2 n

• 
  a^n2(bb  bb
  

...  b b ) 

1 2 1 3

n1 n

• 
  a^n3(bb b
  

...  b b b ) ...  bb ...b .

1 2 3

n2

n1 n

1 2 n

ko„rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o„ng tomonida joylashgan ^an oldidagi


n

n
koeffitsient birga ( 1  C⁰ ) teng. Birinchi qavslar ichidagi qo„shiluvchilar soni ⁿ ga ( n  C¹ ) tengligi yaqqol ko„rinib turibdi. Ikkinchi qavslar ichidagi qo„shiluvchilar

^{b , b ,..., b} ( ⁿ ta) elementlardan ikkitadan ko„paytmalar (soni C² ga teng gruppalashlar)

^{1 2 n} n

ekanligini ham payqash qiyin emas. Uchinchi qavslar ichidagi qo„shiluvchilar esa o„sha

n
ⁿ ta elementlardan uchtadan ko„paytmalar bo„lib, ularning soni C³ ga teng va hokazo.


n
Oxirgi qo„shiluvchi oldidagi koeffitsient birga ( 1  Cⁿ ) teng. Yuqoridagi tenglikda

b₁  b₂  ...  b_n  b deb olsak, Nyuton binomi formulasini hosil qilamiz.



Binomial koeffitsientlarning xossalari. Binomial koeffitsientlarning ba‟zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo„lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.