8-Ma’ruza. Tasоdifiy miqdоrlarning sonli xarakteristikalari. Matеmatik kutilma va хоssalari. Dispеrsiya va хоssalari

8-Ma’ruza.

Tasоdifiy miqdоrlarning sonli xarakteristikalari. Matеmatik kutilma va хоssalari. Dispеrsiya va хоssalari.

Reja.

1. 
   Matematik kutilma va uning xossalari.
   

2. Dispersiya va uning xossalari.

X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‘lsin: { }.

1. Matematik kutilma va uning xossalari.

X t.m. matematik kutilmasi deb, qator yig‘indisiga aytiladi va

(1)
orqali belgilanadi.

Matematik kutilmaning ma’nosi shuki, u t.m. o‘rta qiymatini ifodalaydi. Haqiqatan ham ekanligini hisobga olsak, u holda

.

Uzluksiz t.m. matematik kutilmasi deb

(2)

integralga aytiladi. (2) integral absolut yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik kutilma mavjud emas deyiladi.

Matematik kutilmaning xossalari:

1. 
   O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng, ya’ni
   

MC=C.

2. 
   O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,
   

M(CX)=CMX.

3. 
   Yig‘indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‘indisiga teng,
   

M(X+Y)=MX+MY.

4. 
   Agar XY bo‘lsa,
   

M(XY)=MXMY.
Isbotlar: 1. O‘zgarmas C sonni faqat 1 ta qiymatni bir ehtimollik bilan qabul qiluvchi t.m. sifatida qarash mumkin. Shuning uchun MC=CP{X=C}=C1=C.

2. CX diskret t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin, u holda .

3. X+Y diskret t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiladi, u holda ixtiyoriy n va m lar uchun

Bu yerda va bo‘ladi. Chunki, ,

.

4. Agar XY bo‘lsa, u holda

va


Matematik kutilmaning xossalari t.m. uzluksiz bo‘lganda ham huddi shunga o‘xshash isbotlanadi. Masalan, .

1-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa, X t.m.ning matematik kutilmasini toping.

X	500	50	10	1	0
P	0.01	0.05	0.1	0.15	0.69

MX=5000.01+500.05+100.1+10.15+00.69=8.65.

2-misol. X uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi berilgan .

C va MX ni toping.

Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra . Demak, va .

Endi matematik kutilmani hisoblaymiz:

.

2. Dispersiya va uning xossalari.

X t.m. dispersiyasi deb, ifodaga aytiladi.

Dispersiya DX orqali belgilanadi. Demak,

. (3)

Agar X dickret t.m. bo‘lsa,

, (4)

Agar X uzluksiz t.m. bo‘lsa,

(5)

T.m. dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi formula qulaydir:

DX=MX²-(MX)² (6)

Bu formula matematik kutilma xossalari asosida quyidagicha keltirib chiqariladi:

Dispersiyaning xossalari:

1. 
   O‘zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng DC=0.
   
2. 
   O‘zgarmas ko‘paytuvchini kvadratga ko‘tarib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,
   

D(CX)=C²DX.

3. 
   Agar XY bo‘lsa,
   

D(X+Y)=DX+DY.

Isbotlar: 1. .

2.

.

3. (11) formulaga ko‘ra

.

X t.m. o‘rtacha kvadratik tarqoqligi(chetlashishi) deb, dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:

(7)

Dispersiyaning xossalaridan o‘rtacha kvadratik tarqoqlikning xossalari kelib chiqadi: 1. ; 2. ;