8-ma’ruza dinamik dasturlashtirishning amaliy masalalari

8.4. Resurslarni taqsimlash masalasi. Faraz qilaylik, biz ma‘lum miqdordagi resurslarga ega bo’laylik,ya‘ni bizning ixtiyorimizda ma‘lum sondagi odamlar,mashinalar,suv va raketalar uchun yoqilg’ilar va xokazolar bo’lib,bu resurslarni har xil yo’l bilan ishlatish imkoniyatiga ega bo’laylik.
Bu imkoniyatlarning har biri j a r a yo n deyiladi.Har bir jarayonda foydalanib,ma‘lum bir miqdordagi foyda olamiz yoki ma‘lum bir narxga ega bo’lgan maxsulot ishlab chiqaramiz.Olinadigan foydaning miqdori yoki bor bo’lgan resurslarning barchasidan yoki uning bir qismidan ishlab chiqariladigan maxsulotning narxi resurslarni qanday qilib taqsimlashimizga va ulardan qanday foydalanishimizga bog’liqdir.
Asosiy maqsad - har bir jarayonda resurslarni shunday taqsimlash kerakki,olinadigan foyda eng ko’p bo’lib,sarf bo’ladigan harajat eng kam bo’lsin.
Shunday qilib,resurslarni taqsimlash masalasini quyidagicha bayon qilish mumkin: n xil yo’l bilan foydalanish mumkin bo’lgan resurslar va ularni taqsimlash yo’llari har xil bo’lsin i xil taqsimlashda (i=1,n) foydalaniladigan resursning miqdori xi bo’lib,olinadigan foydaning miqdori gi (xi) bo’lsa,umumiy foyda eng ko’p bo’ladigan qilib taqsimlash kerakligi aniqlansin.
Qo’yilgan masalaning matematik modelini tuzamiz.Resurslardan foydalanish imkoniyatimiz i=1,n ga va har bir imkoniyatdan keladigan foyda yoki resurslardan foydalanish uchun ketgan harajat miqdori g i(x i) bo’lgani uchun umumiy foyda
z= Σ g _i(x _i) ( 2 )

ga teng bo’ladi.Har bir imkoniyatlardan foydalanadigan resurslar miqdorining yigindisi resurslarning umumiy miqdoriga teng bo’lganligi uchun

Σ xi =X, x i>0, i=1,n ( 3 )
tenglik o’rinlidir.Endi resurslarni taqsimlash masalasini quyidagicha baen qilish mumkin.CHeklanish shartlari (3) ni qanoatlantiradigan shunday x va n larni topish kerakki,maqsad funksiya (2 ) eng katta qiymatga erishsin.( 2) ning maksimum qiymati resurslarning umumiy miqdori X va imkoniyatlar soni n ga bog’liq bo’lgani uchun uni
f _n (X)=max Σg_i(х_i) ( 4 )
Σх_i=х
deb yoza olamiz.
Bu yerda umumiy resurs miqdori ( 3 ) dan foydalanish bo’yicha maksimallash operatsiyasi ketma-ket ikkita maksimallash operatsiyasidan iboratdir.Buning birinchisi X - xn = x1 + x2 +...+ xn-1 resursdan foydalanish bo’yicha maksimallash operatsiyasidir, ya‘ni
max Σ g_i(х_i) =max [ max Σg_i(х _i) ]
Σх_i=Х 0< х_n<х Σх_i =х-х_n
Bundanfoydalanib,( 4 ) niquyidagichayezishmumkin: fn(X) =max[g_n(x_n)+g_n-1 (x_n-1 )+...+g₁ (x₁)] = max{max [g_n(x_n)+g_n-1(х_n-1) +…g₁(х₁)]}
Demak,
f_n(X) = max{ g_n (x_n)+f_n-1 (X-x_n)} (5)
0n