8-ma’ruza. Darajali funksiya. Juokvskiy funksiyasi

Jukovskiy funksiyasi.

Ushbu

(1)
funksiyaga Jukovskiy funksiyasi deyiladi.
Funksiyamiz kasr-chiziqli funksiya emas. Faqat 2 ta kasr-chiziqli funksiya yig’indisidan iborat.
Bu funksiya va nuqtalardan tashqari butun tekislikda golomorf. Uning hosilasi , agar bo’lsa.
Bu yerdan ko’rini turibdiki, ixtiyoriy chekli nuqtada Jukovskiy funksiyasi konform bo’lar ekan. Bu funksiyaning nuqtada konformligini konformlikning ta’rifidan foydalanib isbotlash mumkin. tenglikdan esa funksiyaning nuqtada ham konformligikelib chiqadi.
Shunday qilib Jukovskiy funksiyasi nuqtalardan tashqari hamma yerda konform ekan.
Endi bu funksiyasi 2 ta nukalarni bitta nuqtaga utkazsin. U holda

bo’ladi. ekanligidan tenglikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, Jukovsikiy funksiyasining birorta D sohada bir varakli bo’lishi uchun bu sohaning
(2)
tenglikni qanoatlantiruvchi va nuqtalarni saqlamasligi zarur va yetarlidir. (1)-funksiya quyidagi sohalarda bir yaproqli
a)
b)
v)
g)
Endi (1) funksiyaning geometrik ma’nosini tekshirish uchun quyidagicha yozib olamiz:


.
U holda

Bundan
(3)
tenglamalarga ega bo’lamiz.
Endi Jukovskiy funksiyasi yordami bilan tekislikdagi aylananing tekislikdagi qanday chiziqdan iborat ekanini tekshiramiz. ……Bunda ikki hol bo’ladi: va . a) bo’lsin. Quyidagicha belgilab olaylik.
va bunda . U holda (3) ning ko’rinishi

bo’lib,
(4)
bo’ladi.
Bu tekislikda fokuslari nuqtada, yarim o’qlari va bo’lgan ellipsni ifodalaydi. Endi ellipsdagi musbat yo’nalishni aniqlaylik. ……Agar aylana ustidagi ixtiyoriy z nuqta musbat yo’nalish bo’yicha bir marta aylanib chiqsa, burchak 0 dan gacha o’zgaradi. (3^/) ellipsda bo’lgani uchun burchak 0 dan gacha o’zgaradi: . Buning uchun ellips ustidagi ixtiyoriy W nuqta soat strelkasi bo’yicha harakat qilishga majbur.
Agar biz aylananing r radiusini nolga yaqinlashtirsak
ya’ni, ellips kattaligi borib, aylana shakliga yaqinlasha boradi.
Agar bo’lsa, u holda ya’ni ellips Ou o’qidagi
[-1;1] kesmaga tortiladi.
Shunday qilib (1) funksiya bilan doira Ou o’qining [-1;1] kesmadan iborat bo’ladi. SHu bilan birga aylananing yuqori k ismiga
[-1;1] kesmaning kuyi kirgogi va aylananing pastki qismiga esa nimaning yuqori kirgogi mos keladi.
b) bo’lsin.