8-§. 7-mustaqil ish xosmas va parametrga bog`liq integrallar 1-tur xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi

7⁰. Eyler integrallari (Beta va Gamma funksiyalar)

a) Beta funksiya (1-tur Eyler integrali) va uning xossalari
1-Ta`rif. Quyidagi

(15)

integralga Beta funksiya yoki 1-tur Eyler integrali deyiladi.

Beta funksiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   (15)-integral to`plamda yaqinlashuvchi, to`plamda esa tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Natija. Agar bo`lsa,

(16)

tenglik o`rinli bo`ladi.

(16) dan

5. 
   va uchun
   

(17)

tenglik o`rinli.

Natija.



b) Gamma funksiya (2-tur Eyler integrali) va uning xossalari.

2-Ta`rif. Quyidagi

(18)

integralga Gamma funksiya yoki 2-tur Eyler integrali deyiladi.

Gamma funksiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   
   
2. 
   (18)-integral oraliqda yaqinlashuvchi, kesmada esa tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
3. 
   va uchun
   

4) (19)

Natija.

Beta va Gamma funksiyalar orasidagi bog`lanishni quyidagi teorema ifodalaydi.

Teorema. uchun

(20)

tenglik o`rinli.

Natija. uchun

(21)

tenglik o`rinli bo`ladi.

Agar (21)-tenglikda desak

(22)

bo`ladi.

Eyler integrallari yordamida ko`pgina xosmas integrallarni hisoblash ancha osonlashadi.

Misollar.

1. 
   Eyler-Puasson integrali hisoblansin.
   

2. 
   xosmas integral hisoblansin.