7– mavzu: Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar. Fizika, mexanika, texnika va iqtisodning juda ko’p masalalarini yechish ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarga keltiriladi.
Differensial tenglamada noma’lum funksiya va uning hosilalari birinchi darajada qatnashsa bunday tenglamaga chiziqli deyiladi. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

bu yerda noma’lum funksiya, lar biror oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar, bo’lsa, (1) tenglamaga bir jinsli chiziqli differensial tenglama deyiladi. bo’lsa bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan tenglamalar yechimini topishda chiziqli bog’langan va chiziqli bog’lanmagan funksiyalar tushunchasidan foydalaniladi.
funksiyalar biror kesmada berilgan bo’lsin.
1-ta’rif. Shunday o’zgarmas sonlar topilsaki, ulardan hech bo’lmaganda bittasi no’ldan farqli bo’lganda

ayniyat o’rinli bo’lsa, funksiyalarga chiziqli bog’langan funksiyalar deyiladi.
funksiyalar chiziqli bog’langan bo’lsa, ular proportsianal bo’ladi, ya’ni, bo’lib, bo’lsa,

bo’ladi.
Masalan, funksiyalar chiziqli bog’langan, chunki
2-ta’rif. (2) tenglik faqat bo’lgandagina bajarilsa, funksiyalarga chiziqli bog’lanmagan funksiyalar deyiladi.
Funksiyalarning chiziqli bog’langan yoki chiziqli bog’lanmaganligini

Vronskiy determinanti yordamida tekshirish mumkin. funksiyalar oraliqda chiziqli bog’langan bo’lsa, ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti no’lga teng bo’ladi. Bu funksiyalar uchun oraliqda tuzilgan Vronskiy determinanti no’ldan farqli bo’lsa ular chiziqli bog’lanmagan bo’ladi.
1-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Bevosita qo’yish bilan tekshirib ko’rish mumkinki,
berilgan tenglamaning yechimlari bo’ladi. Bu yechimlar chiziqli bog’lanmagan yechimlar bo’ladi, chunki Vronskiy determinanti

Demak, formulaga asosan, funksiya berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
SHunday qilib, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish uchun, uning ikkita chiziqli bog’lanmagan xususiy yechimini topish kifoya.
(3) tenglamaning yechimini , ko’rinishda izlaymiz, bu yerda noma’lum son. bo’lib,(3) tenglamadan
(5)
bo’ladi. (5) tenglik bajarilsa funksiya (3) tenglamaning yechimi bo’ladi.
(5) tenglamaga (3) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Xarakteristik tenglamaning yechimlari

bo’lib, bunda quyidagi uchta hol bo’lishi mumkin:

1) lar haqiqiy va har xil, ya’ni

2) haqiqiy va teng (karrali), ya’ni
3) kompleks sonlar, ya’ni bunda;
.
Har bir holni alohida qaraymiz:
1) bu holda funksiyalar chiziqli bog’lanmagan xususiy yechimlar bo’lib, umumiy yechim
(6)
bo’ladi.
2-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamaga mos xarakteristik tenglamani tuzamiz:

Xarakteristik tenglamaning ildizlari

bo’lib, umumiy yechim (6) formulaga asosan

bo’ladi.
2) Ikkinchi holda, xarakteristik tenglamaning ildizlari teng
bitta xususiy yechim bo’ladi. Ikkinchi xususiy yechimni ko’rinishda tanlaymiz. Bu funksiya ham (3) tenglamaning yechimi bo’ladi, haqiqatan ham

ifodalarni (3) tenglamaga qo’yib

tenglikni hosil qilamiz. xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lganligi uchun oxirgi tenglikdagi birinchi qavs aynan no’lga teng, bo’lganligi uchun ikkinchi qavs ham aynan no’lga teng.
Demak, funksiya ham (3) tenglamaning yechimi bo’ladi, hamda yechimlar chiziqli bog’lanmagan (tekshirib ko’ring). Shunday qilib,
(7)
umumiy yechim bo’ladi.
3-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamaning xarakteristik tenglamasi

bo’lib, ildizlari bo’ladi (tenglamani yechib ko’rsating). Xarakteristik tenglamaning ildizlari o’zaro teng, (7) formulaga asosan funksiya berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
3) Xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks, qo’shma:
bo’lganda xususiy yechimlarni


ko’rinishda olish mumkin. Bu ifodalarga