7– mavzu: Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Misol. Tenglamani yeching:
.
Yechish. Berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz. Harakteristik tenglamasi bo’lib, ildizlarga ega. Umumiy yechim funksiya bo’ladi. Berilgan tenglamaning yechimini ko’rinishda izlaymiz. sistema ushbu ko’rinishda bo’ladi.

Sistemani yechib va tenglamalarni yoki ularni integrallab, ifodalarni topamiz. Bulardan foydalanib, umumiy yechimni quyidagicha yozamiz:
.
Ostragradskiy-Liuvill formulasi

tenglamaning hususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uni umumiy yechimini

ko’rinishdagi Ostragradskiy-Liuvill formulasi yordamida topish mumkin.
Misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping:
.
Yechish. Ostragradskiy-Liuvill formulasiga asosan
yoki
hosil bo’ladi.
Agar

va ekanligini inobatga olsak, ushbu tenglamani olamiz
.
Bu tenglamadan ni topish uchun uni xar ikkala tomonini ga bo’lib yuborsak,
yoki
tenglama hosil bo’ladi.
So’ngi tenglikni integrallash natijasida

ifodaga ega bo’lamiz. ekanligini eotiborga olib, umumiy yechimni

ko’rinishda yozamiz.
Darsda yechish uchun misollar

1. 
   Tenglamalarning umumiy yechimini toping.
   

1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.

2. 
   Quyidagi tenglamalarning xususiy yechimlari ko’rinishini yozing:
   

11. 12.
13. 14.

3. 
   Quyidagi tenglamalarni o’zgarmasni variasiyalash usulida yeching.
   

15. 16.
17. 18.
19. . 20. .