7– mavzu: Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar

7– MAVZU:
Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Yuqori tartibli chiziqli tenglama deb quyidagi tenglamaga

aytiladi.
(1)
agar f(x)=0 bo’lsa bir jinsli tenglama,
agar f(x)0 bo’lsa bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi.
x[a,b] uchun (1) tenglamada a₀(x)0 bo’lsa, u holda bir jinsli tenglamani
(2)
ko’rinishida yozish mumkin .
(2)ni deb belgilansa, L[y]=0 bo’ladi.
L – n - tartibli chiziqli operator deb atalib, ushbu xossalarga ega:
1.L[cy]=cL[y] c=const,
2.L[y₁+y₂]= L[y₁]+ L[y₂]
Bu xossalarni isboti mos holda va formulalar yordamida isbotlanadi.
Bu xossalarni umumlashtirib,
(3)
formulani yozishimiz mumkin.
Endi ushbu xossalardan foydalanib, bir jinsli tenglama yechimlarining ushbu ikki xossasini isbotlaymiz.
1. Agar funksiya L[y]=0 tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda y=c(x) (c=const) funksiya ham tenglamaning yechimi bo’ladi.
Haqiqatdan ham, L operatorni birinchi xossasiga ko’ra
L[c(x)]=cL[(x)] o’rinli
Demak, (x) tenglamaning yechimi bo’lganligi uchun ixtiyoriy c=const bo’lganda
cL[(x)]=0.
SHartga ko’ra L[₁(x)]=0, L[₂(x)]=0. L – operatorning ikkinchi xossasiga ko’ra
L[₁(x)+₂(x)]=L[₁(x)]+L[₂(x)]=0
Yuqoridagi xossalardan va (3) formuladan foydalansak,
₁(x),₂(x),…,_n(x) funksiyalar L[y]=0 tenglamaning yechimi bo’lsa.
funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo’lishi kelib chiqadi.
VRONSKIY DETERMINANTI
Quyidagi ko’rinishdagi determinantga Vronskiy determinanti deyiladi:

Bu determinant uchun ushbu teoremalar o’rinli.
n – nchi tartibli tenglamani xususiy holi sifatida n= 2 bo’lganda
(4)
tenglamani qaraylik. Bu tenglamani bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uni umumiy yechimi
(5)
ko’rinishida ifodalanadi. (5) ko’rinishidagi formula Ostrogradskiy-Liuvill formulasi deb ataladi.
(5)ni yoyib yozsak
bo’lib, uni ga bo’lsak,
chap tomoni bo’linmani hosilasi formulasini ifodalaydi, unda
tenglikka ega bo’lamiz.
Buni integrallasak,

yoki

ekanligi kelib chiqadi .