7-ma’ruza. Lebeg integrali (2 soat) Reja

7-ma’ruza. Lebeg integrali (2 soat)
Reja:
1. Sodda funksiyalar
2. Sodda funksiya uchun Lebeg integrali
3. Lebeg integraliga misollar va uning xossalari.
Hamma yerda o‘lchovli to‘plamda aniqlangan o‘lchovli funksiyani qaraymiz va deb faraz qilamiz.
7.1-ta'rif. Agar o‘lchovli bo‘lib, uning qiymatlari to‘plami ko‘pi bilan sanoqli bo‘lsa, u holda sodda funksiya deyiladi.
7.1-teorema. Ko‘pi bilan sanoqlita har xil qiymatlarni qabul qiluvchi funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun

to‘plamlarning o‘lchovli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. funksiya to‘plamda o‘lchovli bo‘lsa, to‘plamlarning o‘lchovli ekanligi 7.1-lemmadan kelib chiqadi.
Yetarliligi. to‘plamlarning har biri o‘lchovli ekanligidan funksiyaning o‘lchovli ekanligini keltirib chiqaramiz.

tenglikdan va o‘lchovli to‘plamlarning birlashmasi o‘lchovli ekanligidan ning da o‘lchovli funksiya ekanligi kelib chiqadi.
7.1-misol. Agar o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda funksiya da sodda funksiya bo‘lishini isbotlang. Bu yerda simvol sonining butun qismini bildiradi.
Yechish. funksiya faqatgina butun qiymatlar qabul qiladi. Shuning uchun uning qiymatlar to‘plami ko‘pi bilan sanoqlidir. Endi uning o‘lchovli ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun

tenglik o‘rinli. ___-lemmaga ko‘ra to‘plam o‘lchovli. ___-teoremaga ko‘ra funksiya da o‘lchovli funksiya bo‘ladi. Demak, sodda funksiya ekan.
7.2-misol. Sodda funksiyaning songa ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishini ko‘rsating. Sodda funksiyalar yig‘indisi yana sodda funksiya bo‘lishligini isbotlang.
Yechish. Sodda funksiyaning songa ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishligi bevosita ta'rifdan kelib chiqadi. Sodda funksiyalar yig‘indisining yana sodda funksiya bo‘lishligi esa, o‘lchovli funksiyalar yig‘indisining yana o‘lchovli funksiya ekanligidan hamda chekli yoki sanoqli to‘plamlarning arifmetik yig‘indisi (2-ma’ruzadagi 5-topshiriqqa qarang) yana chekli yoki sanoqli to‘plam ekanligidan kelib chiqadi.